重庆市2025年普通高等学校招生全国统一考试高三第三次联合诊断检测数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则的元素个数为（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知为虚数单位，则（????）
A． B． C． D．
3．已知直线，和平面，其中，则“”是“”的（????）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（????）
A．2 B． C． D．4
5．已知函数的一个极小值点为，则实数a的取值范围是（????）
A． B． C． D．
6．已知函数在上恰有2个零点，则的最小正周期的最小值为（????）
A． B． C． D．
7．设函数的定义域为，是的导函数.若是奇函数，则的图象（????）
A．关于对称 B．关于对称
C．关于对称 D．关于对称
8．已知长方体中，，，E为的中点.若长方体表面上的动点P满足，则动点P的轨迹围成面积为（????）
A．24 B．18 C． D．12
二、多选题
9．我国1949年—2023年高中阶段毛入学率和高等教育毛入学率变化如图所示，可以判断（????）
A．2000年—2005年高中阶段毛入学率增量高于1995年—2000年高中阶段毛入学率增量
B．2015年—2020年高等教育毛入学率增加了14.4%
C．2015年—2020年高中阶段入学人数低于2010年—2015年高中阶段入学人数
D．2023年高等教育入学人数是2015年高等教育入学人数的1.5倍
10．已知，则（????）
A．，使得是增函数 B．，函数均存在极值点
C．，函数只有一个零点 D．，且，有
11．已知双曲线C：的右焦点为F，P是C右支上的动点，P到直线，和的距离分别为，，，则（????）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知两个非零向量，，若，，，则.
13．某同学在无人防守时的三分球命中率为0.6，每次投篮是否投中相互独立，若他在三分线外连续投篮10次，每投中一次得三分，记其最后得分为，则.
14．设数列满足.若存在常数，使得成立，则的最小值是.
四、解答题
15．随机询问80名不同职业的人在购买食品时是否看营养说明，得到如下调查结果：
职业
买食品时是否看营养说明
合计
不看营养说明
看营养说明
从事与医疗相关行业
12
28
40
从事与医疗无关行业
18
22
40
合计
30
50
80
（1）从这80名受访者中随机抽出1人，已知此人在购买食品时要看营养说明，求这名受访者从事与医疗无关行业的概率；
（2）依据小概率的独立性检验，能否推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异？
参考公式：
独立性检验中常用小概率值和相应临界值：
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
16．在中，内角所对的边分别为，.
（1）求角；
（2）若，的面积为，求.
17．如图，三棱台中，，，，，，在底面内的射影为中点.
（1）求三棱台的体积；
（2）求平面与平面夹角的正弦值.
18．已知椭圆C：的离心率为，C与曲线经过x轴上的同一点.
（1）求C的方程；
（2）作曲线在处的切线l.
（ⅰ）若，l与C相交于A，B两点，P是C上任意一点，求面积的最大值；
（ⅱ）当时，证明l与C有两个公共点.
19．现定义：对于实数，若，则称是和的加比中项；若、则称是和的减比中项．已知数列满足，，且存在正数，使是和的加比中项与减比中项．
（1）若是与的等比中项，求；
（2）数列满足，，且满足是和的减比中项．记数列的前项和为．
（i）求证：是和的减比中项；
（ii）当时，求证：．
参考答案
1．【答案】C
【详解】集合，则，
所以集合C的元素个数为3个.
故选C
2．【答案】B
【详解】因为，
所以.
故选B.
3．【答案】C
【详解】由，，则可能有，或者与相交，不能推出，
若，，则有，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选C
4．【答案】B
【详解】由题意有，即.
故选B.
5．【答案】A
【详解】已知，根据绝对值的性质，
当时，，此时；
当时，，此时.
所以.
对分段函数求导，
当时，，对其求导，可得；
当时，，对其求导可得.
因为是函数的一个极小值点，所以在左侧附近，在右侧附近.
当时，，令，即，解得；
当时，，令，即，解得.
要使是极小值点，则需满足，解这个不等式，得.
所以实数的取值范围是.
故选A.
6．【答案】D
【详解】当，则，有两个零点，则，
所以，由知，最小正周期的最小值为.
故选D.
7．【答案】B
【详解】因为是奇函数，所以，即，
对其求导，则有，所以关于直线对称.
故选B
8．【答案】A
【详解】由知