辽宁省名校联盟2025年高考模拟卷（信息卷）高三数学试题（五）
一、单选题
1．命题“”的否定是（????）
A．
B．
C．
D．以上说法均错误
2．已知为纯虚数，记构成的集合为，则中元素的个数为（????）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知，则（????）
A． B． C． D．
4．如图，分别是正八面体（8个面均为正三角形）棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（????）
A． B． C． D．
5．设点为圆上一点，则的最小值为（????）
A．6 B．4 C． D．
6．某省参加数学竞赛的学生中物理组合占，历史组合占，假定历史组合参赛学生获奖的概率为，物理组合参赛学生获奖的概率为，现从全部参赛学生中抽取3名，已知这3名学生均获奖，则这3名学生中既有物理组合学生又有历史组合学生的概率为（????）
A． B． C． D．
7．已知是椭圆的左焦点，分别是的右、上顶点，是上一点，且和是全等的三角形（为坐标原点），则的离心率的平方为（????）
A． B． C． D．
8．当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若，则下列说法正确的是（????）
A． B．
C． D．
10．“早潮才落晚潮来，一月周流六十回”，潮汐现象是海水受日月的引力而引起的周期性涨落现象，观察发现某港口的潮汐涨落规律为（其中（单位）为港口水深，（单位）为时间，）.若某轮船当水深大于时可以进出港口，根据表格中的观测数据，下列说法正确的是（????）
时间
1
4
7
10
13
16
19
22
水深
11
12.5
14
12.5
11
12.5
14
12.5
A．
B．
C．该轮船9点可以进出港口
D．该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长不超过4小时
11．平面内到定点、轴、轴的距离之和等于4的点的轨迹是如图所示的曲线，它由4部分组成，每部分都是双曲线上的一段，设是该曲线上一点，则下列说法正确的是（????）
??
A．
B．当都是整数时，称为格点，则上有2个格点
C．的最大值为
D．在第一象限对应的双曲线的离心率为
三、填空题
12．的展开式中的常数项为（用数字作答）.
13．设是等差数列的前项和，成等比数列，等比数列的首项为，公比为正整数，均不是常数列，若是整数，则.
14．如图，在中，，点在以为直径的半圆（外）内及边界上运动，若，记的最大值与最小值分别为，则.
四、解答题
15．记的内角的对边分别为，已知.
（1）求证：；
（2）若，求面积的最大值.
16．记为数列的前项和，已知.
（1）求的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求.
17．如图，圆台的轴截面为等腰梯形，上、下底面半径分别为2，4，圆台母线与底面所成角为是下底面圆周上一点（异于点）.
??
（1）已知，若线段上存在一点，使得平面，试确定点的位置，并求直线与平面的距离；
（2）若平面与平面的夹角为，求.
18．已知双曲线过点，离心率为，直线与的左支交于两点，与轴交于点.
（1）求的方程；
（2）为坐标原点，设的面积分别为，若，求的方程；
（3）若上存在点，过点可以作的两条切线，且两条切线互相垂直，求的取值范围.
19．随着时代的进步、科技的发展，“网购”已发展成为一种新的购物潮流，足不出户就可以在网上买到自己想要的东西.某网店为了解网民在该网店的购物情况，从某天交易成功的所有订单中随机抽取了100份，按购物金额（单位：千元）进行统计，并将其分成以下六组：，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（1）若该网店平均每天有100个订单，试计算样本平均数与中位数，并估计该网店一年的总销售额（一年按365天计算）；
（2）2024年“双十一”期间，该网店在两件畅销商品的页面均设置了一个“限时抢红包”的环节，每人在每个页面最多只能抢到一个红包，其中每个红包由百元现金券组成，该现金券可以在购物时直接抵减相应金额.现甲参加了这两件商品的“限时抢红包”活动，设甲在商品页面抢到红包的概率分别为，且这两次红包是否抢到互不影响.分别记甲抢到的红包总数量为，红包总金额为百元.
（i）求的分布列及数学期望；
（ii）求的数学期望取最大值时正整数的值.
参考答案
1．【答案】B
【详解】的否定为：，
故选B
2．【答案】C
【详解】由复数为纯虚数，设，则有，，，所以.
故选C.
3．【答案】A
【详解】，①
由，
得，代入①，
解得，所以，
又因为，所以，
所以，
因为，
所有.
故选A.
4．【答案】C
【详解】由正八面体结构特征知，，
若正八面体的棱长为2，且各侧面都是正三角形，为正方形，
所以
，
，
同理得，
所以，异面直线与所成角的余弦值为