湖北省鄂东南联盟2025届高三下学期5月模拟数学试卷
一、单选题
1．已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数等于（????）
A． B． C． D．
2．设集合，则（????）
A． B． C． D．
3．已知函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，则满足条件且最小的的值为（????）
A．3 B． C．15 D．2
4．已知点，，向量，则向量在方向上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
5．反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在0.0455以下，至少要测量的次数为（????）（附：若随机变量服从正态分布，则）
A．200 B．400 C．800 D．1000
6．“”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的（????）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
7．已知边长为2的菱形，对角线交于点，现将沿对角线翻折，得到三棱锥.记线段的中点分别为，则下列结论错误的是（????）
A．
B．三棱锥体积的最大值为
C．平面截三棱锥的截面图形可能是正方形
D．当折成的二面角为时，三棱锥的外接球半径为
8．已知定义域为实数集的函数，导数均存在，且记为，满足，对恒成立，则下列结论一定成立的是（????）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点，则的值可能是（????）
A．9 B．8 C．7 D．6
10．已知单位圆的内接正边形的边长、周长和面积分别为，则下列结论正确的是（????）
A． B．
C． D．
11．已知函数，下列选项正确的是（????）
A．0是函数的零点
B．函数仅有一个极小值
C．若，且，则
D．若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
三、填空题
12．1与2025的等比中项为.
13．已知定义域为的函数是奇函数，且在上严格单调递增，若对的某个内角，不等式恒成立，则实数的取值范围是.
14．在方格表的16个小方格中选取8个，使得每行每列都恰有两个小方格被选中，则不同的选取方法数为.（请用数字作答）
四、解答题
15．已知函数.
（1）若函数的图象在点处的切线与直线垂直，求实数的值；
（2）若，求函数的单调区间.
16．2025年4月25日，中国人形机器人生态大会在上海汽车会展中心举办.其中，人形机器人拳王争霸赛让人大开眼界：在4米乘以4米的拳台上，可以看到各家公司在多模态融合算法、运动控制、视觉、感知等技术上的突破.比赛前，某科技公司机器人甲队和乙队进行练习赛，两队均由两台机器人组成.比赛要求每轮两局，每局比赛两队都需派不同机器人参赛，每局比赛获胜得1分，否则得0分（每局比赛都分胜负，没有平局）.设每轮比赛中各局结果互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲队机器人，机器人每局比赛获胜的概率分别为.
（1）设前两轮比赛中甲队得3分为事件，前两轮比赛中机器人得2分为事件，求；
（2）机器人续航时间有限，规定本次比赛最多进行6轮，规定当一队得分比另一队得分多2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了轮，求的分布列及数学期望.
17．如图所示，四棱锥的底面四边形为直角梯形，，平面与平面的交线平面.
（1）求线段的长度；
（2）线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.
18．已知椭圆的焦距为2，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，且坐标原点到直线的距离为，则的大小是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
（3）在（2）的条件下，试求三角形的面积的取值范围.
19．设为正整数，且，定义数列为满足以下条件的正整数数列：①；②对每个.定义数列为满足以下条件的正整数数列：①；②对每个，其中.记满足条件的数列的个数为数列的个数为.用表示首项为1，末项为的所有数列构成的集合，表示集合中的元素个数.
（1）求；
（2）求；
（3）证明：.
参考答案
1．【答案】B
【详解】复数满足，则，故，
故选B.
2．【答案】D
【详解】由，所以.
又，所以.
故选D.
3．【答案】A
【详解】由题设，函数为偶函数，
所以，得，
要最小，取，得，
故选A.
4．【答案】C
【详解】因为，，所以，
又，所以，，
所以向量在方向上的投影向量为.
故选C.
5．【答案】C
【详解】由，
而，则，所以.
故选C
6．【答案】B
【详解】如图所示：
设与直线平行且与直线之间的距离为1的直线方程为，
则，解得或，
圆心到直线的距离为，
圆到直线的距离为，
由图可知，圆与直线相交，与直线相离，
所以，即，
故“”是“圆上恰有2个点到直线
的距离