高级中学名校试卷
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吉林省2025届高三下学期东北三省高考模拟数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，
可得：，
，
，
故选：A．
2.设复数满足，则在复平面上表示的图形是（）
A.直线 B.直线 C.圆 D.抛物线
【答案】B
【解析】设复数在复平面中对应的点为，
设，，则的几何意义为，
即点的轨迹为的中垂线，方程为.
故选：B
3.记为数列的前项和．下列说法正确的是（）
A.数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有
B.数列成等比数列充分不必要条件是对于任意的正整数，都有
C.已知数列的前项和，则数列是等差数列的充分不必要条件是实数
D.已知数列的前项和，则数列是等比数列的充要条件是
【答案】A
【解析】是等差数列，A选项正确；
若对都成立，满足，但不是等比数列，充分性不成立，B选项错误；
若是等差数列，则，
，因为是等差数列，所以，得
必要性成立，C选项错误；
若，则，当时，，当时，，不适合上式，
不是等比数列，充分性不成立，D选项错误，
故选：A．
4.满足条件，且的一组为（）
A.，， B.，，
C.，， D.，，
【答案】D
【解析】设，，，，
，，
结合选项，ABC不符合，D符合，
故选：D．
5.函数最小正周期为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
，
，，
故选：C．
6.甲、乙轮流抛一枚均匀硬币，先抛出正面者获胜．若甲先抛，则甲获胜的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设为甲获胜的概率，，，.
故选：C．
7.函数的零点个数为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由的零点，
转化为的零点，
因为均为减函数，
在上单调递减且，
又，
，
若存在，使得，只需，
则即可，存在值，
在上有且只有一个零点，即有且只有一个零点.
故选：B
8.设正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，若该四棱锥的外接球与内切球的球心重合，则外接球半径与内切球半径之比为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，分别为该四棱锥外接球、内切球半径，
由题可知球心在高上，
，，
过球心做面垂线，垂足为，
则点在的中线上（为中点），且，
则，，
在中，边上的高为，
所以，，
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知向量，，若，则可能为（）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】，以为临边的平行四边形对角线相等，
，
，
，，时，，
故选：ACD．
10.设随机变量，且，则（）
A. B.
C.的方差为 D.若增大，则增大
【答案】BC
【解析】由结合正态曲线的对称性，可得，
则，故?A错误；
，故B正确；
由题意可知，，则，故C正确；
越大，数据越分散，越小，故D错误.
故选：BC．
11.已知集合，现随机选取集合中3个元素组成子集（简称3元子集），记该子集中最小数为．（）
A.的最小取值为1，最大取值为19
B.集合中以为最小数的3元子集共有个
C.取到“集合中以为最小数的3元子集”的概率为
D.
【答案】BCD
【解析】的最小取值为，最大取值为，故A错误；
以为最小元的子集只需在中选出2个数与共同组成一个集合，
所以有个，故B选项正确；
集合共有个元子集，由B选项可知概率为，故C正确；
随机选取集合中4个元素组成子集共有种，
由于，，
其中为集合中的最大数，是集合中的最小数，
则从中任取个元素有种，从中任取个元素有种，
再取，则从集合中任取个元素共有种，
则，
则，故D正确.
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知函数，若，则_____．
【答案】
【解析】设，，，
当时，，，无解，不符合题意；
当时，，；
当时，，，无解，不符合题意；
当时，，．
故答案为：
13.展开式中的系数为_____．
【答案】136
【解析】展开式中的系数．
故答案为：136.
14.平面上的整点（横纵坐标都是整数的点）到直线的距离的最小值为_____．
【答案】
【解析】设整点，则，
，，，
，是5的倍数，
，，．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.在中，已知角，边，且．
（1）证明：；
（2）若点在上，且