高级中学名校试卷
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湖南省永州市2025届高三上学期高考第二次模拟考试
数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可知中的元素表示满足的奇数，
故.
故选：B.
2.已知复数，则（）
A. B. C. D.1
【答案】D
【解析】由.
故选：D
3.已知非零向量，满足，且，则与的关系是（）
A.垂直 B.共线 C.夹角为 D.夹角为
【答案】B
【解析】设已知两个向量的夹角为θ，
由题
，
，所以共线.
故选：B.
4.已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为函数是上的增函数，
所以.
故选：A.
5.设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（）
A.0 B.2 C.4 D.6
【答案】C
【解析】由题，又，.
，即（t为参数），
取上顶点时最大，此时.
不会为直角，只有当或是直角才符合题意，
所以由对称性可知满足是直角三角形的点P的个数为4.
故选：C.
6.正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】D
【解析】由题可知上下底正三角形的高分别为，
由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心，
故如左图所示作截面，得到右图，设内切球半径为，
则有即，
所以正三棱台的高为6.
故选：D.
7.已知数列满足，则下列说法正确的是（）
A.若，则所有项恒大于等于
B.若，则是单调递增数列
C.若常数列，则
D.若，则是单调递增数列
【答案】C
【解析】对于A，当时，，当且仅当即时等号成立，
所以，但值不定，
所以若，则所有项不一定恒大于等于，故A错误；
对于B，若时，，，而，故B错；
对于C，若是常数列，则，即，
所以，故C正确；
对于D，由题，
因为，所以由递推关系可知，且，，
所以，.故D错误.
故选：C.
8.在平面直角坐标系xOy中，，，，其中，，，则当面积最小时，（）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，
设，则，，，，
所以由可得，
，
记，则，
所以时，，解得（舍去）或，
时，，解得，
所以时可取最小值，而，
所以.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9.设样本空间含有等可能的样本点，且，，，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A，由题意可得，
所以，故A正确；
对于B，，
所以，故B正确；
对于C，因为，，
所以，故C错误；
对于D，因为，所以.故D正确.
故选：ABD.
10.斜率为2的直线l与双曲线的两条渐近线交于，两点，与双曲线交于C，D两点，P是线段的中点，则下列说法正确的是（）
A.是双曲线两条渐近线所构成的“X”形图象的方程
B.P也是线段的中点
C.若l过双曲线的焦点，则直线的斜率是
D.若l过双曲线的焦点，点P的坐标为，则
【答案】ABD
【解析】对于A.，或，这恰为双曲线两条渐近线，故A正确；
对于B.设直线方程为，分别联立与，
得和，
这两式的两根之和都是，所以，中点为同一个，故B正确；
对于C.因为，，
所以，
所以直线的斜率是，故C错误；
对于D.由C选项可知，即，故D正确.
故选：ABD.
11.已知的定义域为非零有理数集，且满足下面三个性质：
①；
②；
③当时，，其中
下列说法正确的是（）
A.若，，则
B.恰有两个整数解
C.若，，则，，中至少有两个相等
D.若，则
【答案】AC
【解析】A：令，有，即；
令，有，即；
令，有，即是偶函数；
因为
，，所以，A正确；
B：假设选项正确，对于任意除1和以外的整数，有，
即，，而，且，
所以，，矛盾，故B错误.
C：，所以，
若，结论显然成立；
若，则，即或，结论依然成立，C正确；
D：，
，
，D错误.
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，则_________.
【答案】
【解析】由题得，
所以
故答案为：.
13.用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色，要求每个正四面体