高级中学名校试卷
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湖北省宜荆荆随恩2024届高三5月联考（二模）数学试题
一、单项选择题
1.已知复数，则（）
A.1 B. C. D.i
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以.
故选：A
2.设l，m，n是不同的直线，m，n在平面内，则“且”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若且，当时，直线可以与平面平行，此时，不能推出，
若，m，n是平面内两条不同的直线，则，，
所以“且”是“”的必要不充分的条件.故选：B
3.有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（）
A.11 B.13 C.16 D.17
【答案】D
【解析】将样本数据由小到大排列依次为：11，11，11，13，13，13，14，15，16，18，20，24，因为，所以这组数据的上四分位数为.故选：D
4.函数，当取得最大值时，（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
其中，
而，
等号成立当且仅当，此时.
故选：B.
5.已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】若在上单调递增，
则必然在处有定义，所以，即；
若，则当时，所以在上有定义，
再由知在上单调递增，所以在上单调递增.
故选：C.
6.已知非零向量，的夹角为，，，则的最小值为（）
A.2 B. C.1 D.
【答案】C
【解析】因为，的夹角为，，所以，
.
故的最小值为1.故选：C.
7.今天的课外作业是从6道应用题中任选2题详细解答，则甲、乙两位同学的作业中恰有一题相同的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题，所有的基本事件个数为，
“恰有一题相同”包含的基本事件数为，
所以.
故选：D
8.已知，，与y轴平行的直线l与和的图象分别交于A，B两点，则的最小值是（）
A.1 B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意设，，则，
令，
下证：，
设，，，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
记，则，所以在上为增函数，
又，，故存，使得，
所以，即最小值为1.故选：A.
二、多选题
9.已知，则下列不等式正确的有（）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】设，则，在单调递增，
所以，即，即，A正确；
令，，则，而，所以，B不正确；
设，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
则在时取得最小值，即，C正确；
设，则，所以在上是增函数，
所以由得，即，D正确.
故选：ACD
10.无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（）
A.， B.，
C.， D.，
【答案】BC
【解析】，时，等比数列单调递减，故只有最大值，没有最小值；
，时，等比数列为摆动数列，此时为大值，为最小值；
，时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零，
所以等比数列有最大值，也有最小值；
，时，因为，所以无最大值，奇数项为负无最小值，
偶数项正无最大值.
故选：BC
11.正方体中，，P在正方形内（包括边界），下列结论正确有（）
A.若，则P点轨迹的长度为
B.三棱锥外接球体积的最小值是
C.若Q为正方形的中心，则周长的最小值为
D.
【答案】BCD
【解析】因为，且，，所以，
取，的中点E，F，则，所以P点轨迹为圆弧EF，
因为，所以，A不正确；
由球的性质知，三棱锥外接球的球心在过外接圆圆心的垂线上，
的外接圆的圆心为的中点，且半径为，
当外接球半径最小时，的外接圆是球的大圆，
所以球半径R最小值为，外接球体积最小值是，B正确；
设Q关于平面的对称点为，
则，
又，所以的周长，C正确；
分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，设，
则，，，，
所以
，
，
，
所以
.
D正确.故选：BCD.
三、填空题
12.已知，则________．
【答案】21
【解析】对两边求导可得：
，
令，可得，
即，
又，令，可得，
所以
故答案为：.
13.已知，且，，，则方程的解的组数为______.
【答案】15
【解析】由题意，原问题等价于将7个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子中至少放入1个小球的方法个数，在7个相同的小球之间形成的6个空中，任选2个放入两个隔板，共有种方法，
即方程的解的组数为15.
故答案为：15
14.已