第PAGE1页共NUMPAGES1页
2025年普通高等学校招生全国统一考试天津卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知集合，则
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知函数的图象如下，则的解析式可能为
A. B. C. D.
4.若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
5.下列说法中错误的是
A.若，则
B.若，，则
C.越接近1，相关性越强
D.越接近0，相关性越弱
6.，则数列的前项和为
A.112 B.48 C.80 D.64
7.函数的零点所在区间是
A. B. C. D.
8.，在上单调递增，且为它一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为
A. B. C.1 D.0
9.双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于另一象限点为P，若，则双曲线的离心率
A.2 B.5 C. D.
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
10.已知i是虚数单位，则________．
11.在的展开式中，项的系数为________．
12.，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________．
13.小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，4圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______
14.中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______
15.若，对，均有恒成立，则的最小值为_______
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.在中，角的对边分别为．已知，，．
（1）求A的值；
（2）求c的值；
（3）求值．
17.正方体的棱长为4，分别为中点，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求三棱锥的体积．
18.已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分.
19.已知数列是等差数列，是等比数列，．
（1）求，的通项公式；
（2），，有，
（i）求证：对任意实数，均有;
（ii）求所有元素之和．
20.已知函数
（1）时，求在点处的切线方程；
（2）有3个零点，且.
（i）求a取值范围；
（ii）证明．
2025年普通高等学校招生全国统一考试天津卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知集合，则
A. B. C. D.
【详解】由，则，
集合，故
故选：D.
2.设，则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【详解】由，则“”是“”的充分条件；
又当时，，可知，
故“”不是“”的必要条件，
综上可知，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3.已知函数的图象如下，则的解析式可能为
A. B. C. D.
【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB；
又当时，此时，
由图可知当时，，故C不符合，D符合.
故选：D
4.若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，两条平行线有一条垂直于一个平面，则另一个必定垂直这个平面，
现，故，故C正确；
对于D，，则与可平行或相交或，故D错误；
故选：C.
5.下列说法中错误的是
A.若，则
B.若，，则
C.越接近1，相关性越强
D.越接近0，相关性越弱
【详解】对于A，根据正态分布对称性可知，，A说法正确；
对于B，根据正态分布对称性可知，，B说法错误；
对于C和D，相关系数越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确.
故选：B
6.，则数列的前项和为
A.112 B.48 C.80 D.64
【详解】因为，
所以当时，，
当时，，
经检验，满足上式，
所以，令，，
设数列的前n项和为，
则数列的前项和为
数列的前项和为
.
故选：C
7.函数的零点所在区间是