训练27直线的方程、两条直线的位置关系[分值：65分]
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.(2024·南通模拟)直线x·tanπ5＋y－2＝0的倾斜角为(
A.π5 B.3π10 C.7π10
答案D
解析由题意可将原直线方程变形为y＝－tanπ5·x＋2＝tan4π5·x＋2，因为倾斜角的取值范围为[0，π)，所以直线的倾斜角为
2.已知直线l过点P(－2，3)，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若点P恰为AB的中点，则直线l的方程为()
A.3x－2y＋12＝0 B.3x＋2y－12＝0
C.2x－3y＋12＝0 D.2x－3y－12＝0
答案A
解析设直线l的方程为xa＋yb＝1(a≠0，b≠0)，则由题意可知A(a，0)，B(0
因为P(－2，3)是AB的中点，
所以a＋02＝－2，0
解得a＝－4，b＝6.
所以直线l的方程为x-4＋y
即3x－2y＋12＝0.
3.(2025·南昌模拟)直线l：y＝k(x＋2)上存在两个不同的点到原点的距离等于1，则k的取值范围是()
A.(－2，2) B.(－3，3)
C.(－1，1) D.-33
答案D
解析直线l：y＝k(x＋2)上存在两个不同的点到原点的距离等于1，则原点到直线的距离小于1，
所以|2kk2＋11，解得－
4.如图所示，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是()
A.25 B.33 C.6 D.210
答案D
解析点P关于y轴的对称点P的坐标是(－2，0).
设点P关于直线AB：x＋y－4＝0的对称点为P″(a，b)，则b-0a
故光线所经过的路程
PP″＝(-2-4)2＋(0-2
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.已知点A(2，3)，B(4，－5)到直线l：(m＋3)x－(m＋1)y＋m－1＝0的距离相等，则实数m的值可以是()
A.－75 B.75 C.－9
答案AC
解析因为点A(2，3)，B(4，－5)到直线l：(m＋3)x－(m＋1)y＋m－1＝0的距离相等，
所以|
＝|4(
化简得|5m＋8|＝1，解得m＝－95或m＝－7
6.已知两条直线l1，l2的方程分别为3x＋4y＋12＝0与ax＋8y－11＝0，则下列结论正确的是()
A.若l1∥l2，则a＝6
B.若l1∥l2，则两条平行直线之间的距离为5
C.若l1⊥l2，则a＝－32
D.若a≠6，则直线l1，l2一定相交
答案ACD
解析两条直线l1，l2的方程分别为3x＋4y＋12＝0与ax＋8y－11＝0，当l1∥l2时，则3×8－4a＝0，解得a＝6，经检验，满足两直线平行，故A正确；
若l1∥l2，则a＝6，所以平行直线间的距离d＝12＋112
当l1⊥l2，则3a＋32＝0，解得a＝－323，故C
由选项A得，当a≠6时，直线l1，l2一定相交，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.已知直线l：3mx－(5－2m)y－3＝0的倾斜角为π2，则m＝
答案5
解析由题意直线l的倾斜角为π2，则直线l⊥x轴，故方程3mx－(5－2m)y－3＝0中，y的系数为0
即－(5－2m)＝0，解得m＝52
此时，直线l：x＝235
8.若直线l1：3x＋y＋m＝0与直线l2：mx－y－7＝0平行，则直线l1与l2之间的距离为.?
答案10
解析由题设得m＋3＝0，即m＝－3，
所以l1：3x＋y－3＝0，l2：3x＋y＋7＝0，
所以直线l1与l2之间的距离为
|7-(-3)
四、解答题(共23分)
9.(11分)已知两条直线l1：ax＋y＋a＋1＝0，l2：2x＋(a－1)y＋3＝0.
(1)求证：直线l1过定点，并求出该定点的坐标；(4分)
(2)若a＝0，直线l与l2垂直，且，求直线l的方程.(7分)?
从以下三个条件中选择一个补充在横线上面问题中，使满足条件的直线l有且仅有一条，并作答.条件①：直线l过坐标原点；条件②：坐标原点到直线l的距离为1；条件③：直线l与l1交点的横坐标为2.
注：如果选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答计分.
解(1)ax＋y＋a＋1＝0，
即a(x＋1)＋y＋1＝0，x＋1
故直线l1过定点(－1，－1).
当x＝-1
(2)当a＝0时，l2：2x－y＋3＝0，直线斜率为2，则直线l的斜率为k＝－12
设直线方程为y＝－12x＋b，即x＋2y－2b＝0
选择条件①：b＝0，则直线方程为y＝－12x
选择条件②：d＝|-2b5＝1，解得b＝
选择条件③：l1：y＋1＝0，故交点为(2，－1)，代入直线方程得－1＝－12×2＋b，