§7.5空间直线、平面的垂直
课标要求1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用.
1.直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
m
?l⊥α
垂直于同一个平面的两条直线平行
a
?a∥b
2.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°.
(2)范围：0，
3.二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
(2)二面角的平面角：如图，在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围：[0，π].
4.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
a
?α⊥β
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
α
?l⊥α
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.(×)
(2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(√)
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(×)
(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)
2.(2024·惠州模拟)已知l，n是两条不同的直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是()
A.若α∥β，l?α，n?β，则l∥n
B.若α⊥β，l?α，则l⊥β
C.若l∥α，α⊥β，则l⊥β
D.若l⊥α，l∥β，则α⊥β
答案D
解析由l，n是两条不同的直线，α，β是不重合的两个平面知，
在A中，若α∥β，l?α，n?β，则l与n平行或异面，故A错误；
在B中，若α⊥β，l?α，则l与β相交、平行或l?β，故B错误；
在C中，若l∥α，α⊥β，则l与β相交、平行或l?β，故C错误；
在D中，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故D正确.
3.(多选)如图，PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则下列说法正确的是()
A.PA⊥平面ABC
B.BC⊥平面PAC
C.AC⊥平面PBC
D.三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形
答案ABD
解析因为PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则PA⊥平面ABC，故A正确；
而BC?平面ABC，则PA⊥BC，
又AC⊥BC，PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，则BC⊥平面PAC，故B正确；
由A知，△PAB，△PAC都是直角三角形，
由B知，△ABC，△PBC都是直角三角形，故D正确；
假设AC⊥平面PBC，因为PC?平面PBC，
则AC⊥PC，即∠PCA=90°，
而在△PAC中∠PAC=90°，矛盾，故C错误.
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上，若直线D1E与平面ABCD所成的角为π6，则AE=.
答案2
解析根据长方体性质知DD1⊥平面ABCD，故∠DED1为直线D1E与平面ABCD所成的角，
所以∠DED1=π6
则tan∠DED1=DD1DE
可得DE=3，
所以在Rt△AED中，AE=DE2?AD2=
1.灵活应用两个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
2.掌握三种垂直关系的转化
线线垂直线面垂直面面垂直
题型一直线与平面垂直的判定与性质
例1(2024·昆明模拟)如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=2，E为DC的中点，将△ADE沿AE进行翻折，使点D与点P重合，且PB=23.
(1)证明：PA⊥BE；
(2)求四棱锥P-ABCE的体积.
(1)证明由题知AE=BE=22，
所以AB2=AE2+BE2，
所以△ABE为直角三角形，BE⊥AE，
因为PE=DE=2，BE=22，PB=23，
所