§7.5空间直线、平面的垂直
课标要求1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用.
1.直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
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如果一条直线与一个平面内的垂直，那么该直线与此平面垂直?
垂直于同一个平面的两条直线平行
?a∥
2.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是.
(2)范围：.
3.二面角
(1)定义：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角.
(2)二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围：.
4.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
如果一个平面过另一个平面的，那么这两个平面垂直?
?α⊥
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的，那么这条直线与另一个平面垂直?
?
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.()
(2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.()
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()
(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.()
2.(2024·惠州模拟)已知l，n是两条不同的直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是()
A.若α∥β，l?α，n?β，则l∥n
B.若α⊥β，l?α，则l⊥β
C.若l∥α，α⊥β，则l⊥β
D.若l⊥α，l∥β，则α⊥β
3.(多选)如图，PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则下列说法正确的是()
A.PA⊥平面ABC
B.BC⊥平面PAC
C.AC⊥平面PBC
D.三棱锥P－ABC的四个面都是直角三角形
4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上，若直线D1E与平面ABCD所成的角为π6，则AE＝
1.灵活应用两个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
2.掌握三种垂直关系的转化
线线垂直线面垂直面面垂直
题型一直线与平面垂直的判定与性质
例1(2024·昆明模拟)如图，已知四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝2，E为DC的中点，将△ADE沿AE进行翻折，使点D与点P重合，且PB＝23.
(1)证明：PA⊥BE；
(2)求四棱锥P－ABCE的体积.
思维升华证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性质.
(2)证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.
跟踪训练1如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点，证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
题型二平面与平面垂直的判定与性质
例2(2023·全国甲卷改编)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.
(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
(2)设AC＝1，AA1＝2，求四棱锥A1－BB1C1C的高.
思维升华(1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义.②面面垂直的判定定理.
(2)面面垂直性质的应用
①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.
跟踪训练2(2024·郑州模拟)如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，AC⊥AB，平面ABB