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重难点培优专题：概率性质的综合应用
【知识点总结】
一、事件的关系判断
1、互斥（互不相容）：一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，
也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝?，
则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
2、互为对立：一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，
即A∪B＝Ω，且A∩B＝?，那么称事件A与事件B互为对立．
事件A的对立事件记为eq\o(A,\s\up6(－))
二、事件的运算
1、包含关系：一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，
我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，
即B?A(或A?B)，
特殊情形：如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B?A且A?B，
则称事件A与事件B相等，记作A＝B
2、并事件（和事件）：一般地，事件A与事件B至少有一个发生，
这样的事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，
则称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)
3、交事件（积事件）：一般地，事件A与事件B同时发生，
这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，
则称这样的事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)
三、古典概型
1、古典概型的定义
我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
2、古典概型的判断标准
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所
有的试验都是古典概型.
3、古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义
事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.
四、概率的基本性质
1、概率的基本性质
性质1
对任意的事件A，都有P（A）≥0.
性质2
必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（）=1，P()=0.
性质3
如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）.推广：如果事件A1，A2，…，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
性质4
如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=1P（A），
P(A)=1P(B).
性质5
如果，那么P（A）≤P（B）.
性质6
设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B）P（）.
2、复杂事件概率的求解策略
(1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题.
注：概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B=，即A,B互斥时，P(A∪B)=P(A)+P(B)，此时P(A∩B)=0.
五、事件的相互独立性
1、定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
概念理解：（1）事件A与B相互独立式事件A的发生不影响事件B发生的概率，事件B的发生不影响事件A发生的概率；
（2）由连个事件相互独立的定义，容易验证必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立，这是因为必然事件总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样不可能事件总不会发生，也不会受任何事件是否发生的影响，当然他们也不影响其他事件是否发生。
2、性质：如果事件A与事件B相互独立，则与，与，与也都相互独立。
3、两个相互独立事件同时发生的概率乘法：事件与事件相互独立，则
4、推广：两个事件的相互独立可以推广到个事件的相互独立性，即若事件相互独立，则这个事件同时发生的概率
六、判断事件是否相互独立的方法
1、直接法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的，这是从定性的角度进行判断。
2、公式法：若对两事件A，B有P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立.
用相互独立事件的乘法公式解题的步骤：
（1）用恰当的字母表示题中有关事件；
（2）根据题设条件，分析事件间的关系；
（3）将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)；
（4）利用乘法公式计算概率．
七、相互独立事件的概率计算公式
已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有
事件
表示
概率
A，B同时发生
P(