一、四则运算的连续性
二、反函数与复合函数的连续性
三、初等函数的连续性
四、小结
第十节连续函数的运算与初等函数的连续性
一、四则运算的连续性
定理1若函数f(x),g(x)在点x?处连续，
例如，sinx,cosx在(一，+∞)内连续，
故tanx,cotx,secx,cscx在其定义域内连续.
则f(x)±g(x),f(x)·g(x),
在点x处也连续.
反函数与复合函数的连续
性
定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连
续反函数.
例如，y=sinx在上单调增加且连续，
故y=arcsinx在[-1,1]上也是单调增加且连续
同理y=arccosx在[-1,1]上单调减少且连续；
y=arctanx,y=arccotx在[-∞,+∞]上单调且连续.反三角函数在其定义域内皆连续.
证∵f(u)在点u=a连续，
Vε0,3η0,使当u-aη时，
恒有f(u)-f(a)c成立.
又∵
对于η0,3δ0,使当0|x-x|δ时，
定理3若函数f(u)在点a连续，
恒有φ(x)-a|=|u-a|η成立.
将上两步合起来：
Vε0,3δ0,使当0x-x?δ时，
f(u)-f(a)=|f[φ(x)]-f(a)ε成立.
意义1.极限符号可以与函数符号互换；
2.变量代换(u=φ(x))的理论依据.
例1求
解原
解令e?-1=y,则x=In(1+y),
当x→0时，y→0.
同理可得
例2求
定理4设函数u=φ(x)在点x=x?连续，且
φ(x?)=u?,而函数y=f(u)在点u=u?连续，则复合函数y=f[φ(x)]在点x=x?也连续.
注意定理4是定理3的特殊情况.
例如，在(一∞,0U(0,+∞)内连续，
y=sinu在(一∞,+∞)内连续，
在(一∞,OU(0,+∞)内连续.
三、初等函数的连续性
三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.
指数函数y=a*(a0,a≠1)
在(一∞,+∞)内单调且连续；
对数函数y=log。x(a0,a≠1)
在(0,+∞)内单调且连续；
注意1.初等函数仅在其定义区间内连续，在其定义域内不一定连续；
例如，y=√cosx-1,D:x=0,±2π,±4π,…
这些孤立点的邻域内没有定义.
y=√x2(x-13,D:x=0,及x≥1,在0点的邻域内没有定义.
函数在区间[1,+∞]上连续.
注意2.初等函数求极限的方法代入法.
解原式=sin√e1-1=sin√e-1.
例4求
解原
求●
(x?∈定义区间)
例3
四、小结
连续函数的和差积商的连续性.
反函数的连续性.
复合函数的连续性.两个定理；两点意义.
初等函数的连续性.
定义区间与定义域的区别；
求极限的又一种方法.
思考题
设f(x)=sgnx,g(x)=1+x2,试研
究复合函数f[g(x)]与g[f(x)]的连续性.
思考题解答
∵g(x)=1+x2
∴f[g(x)]=sgn(1+x2
g[f(x)]在(一∞,0U(0,+∞)上处处连续
x=0是它的可去间断点
f[g(x)]在(一，+∞)上处处连续
练习题
一、填空题：
当a=___时，f(x)在
(一∞,+∞)上连续.
二、计算下列各极限：
的连续区间为
7、函数
确定
3、
三、设已知f(x)在x=0处连续，试确定a和b的值.
四、设函数f(x)在x=0处连续，且f(0)=0,已知g(x)≤|f(x),试证函数g(x)在x=0处也连续.
7、(-∞,-3),(-3,2),(2,+∞);
8,0,不存在.
二、1、cosa;2、1;3
三、a=1,b=e.
一、1、2;2
5、
3、0;
6、1;
练习题答案
4、0;
09