第五节无穷小与无穷大
一、无穷小
二、无穷大
三、无穷小与无穷大的关系
■四、小结
一、无穷小
1.定义：极限为零的变量称为无穷小.
定义1如果对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ(或正数X),使得对于适合不等式0|x-x?δ(或x|X)的一切，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)ε,
那末称函数f(x)当x→x?(或x→0)时为无穷小，
记作
(或
●
例如，
.∴函数sinx是当x→0时的无穷小.
注意1.无穷小是变量，不能与很小的数混淆；
2.零是可以作为无穷小的唯一的数.
数}是当n→∞时的无穷小.
∴函数是当x→∞时的无穷小.
.
其中α(x)是当x→x?时的无穷小.
证必要性设令α(x)=f(x)-A,则有∴f(x)=A+α(x).充分性设f(x)=A+α(x),
其中α(x)是当x→x?时的无穷小，
2.无穷小与函数极限的关系：
定理1
意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
2.给出了函数f(x)在x?附近的近似表达式f(x)≈A,误差为α(x).
3.无穷小的运算性质：
定理2在同一过程中，有限个无穷小的代数和
仍是无穷小.
证设α及β是当x→∞时的两个无穷小，Vε0,3N?0,N?0,使得
∴α±β→0(x→∞)
注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如，n→∞时是无穷小，
但和为1不是无穷小.
当|x|N?时恒有当x|N?时恒有
取N=max{N?,N?},当xN时，恒有
定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证设函数u在U?(x?,δ?)内有界，
则3M0,8?0,使得当0x-x?δ?时
恒有u≤M.
又设α是当x→x?时的无穷小，
∴Vε0,3δ?0,使得当0|x-x?|δ?时
恒
当x→x?时，u·α为无穷小.
推论1在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例如，当x→0时，都是无穷小
取δ=min{δ1,δ?},则当0|x-x?|δ时，恒有
二、无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
定义2如果对于任意给定的正数M(不论它多么小),总存在正数δ(或正数X),使得对于适合不等式0|x-x?|δ(或xX)的一切，所对应的函数
值f(x)都满足不等式f(x)M,
则称函数f(x)当x→x?(或x→0)时为无穷小，
记作(或
●
特殊情形：正无穷大，负无穷大.
(或
注意1.无穷大是变量，不能与很大的数混淆；
2.切勿将为极限存在
3.无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大.
例如，当x→时，
是一个无界变量，但不是无穷大.
(1)取(k=0,1,2,3,…)
当k充分大时，y(x?)M.无界，(2)取(k=0,1,2,3,…)
当k充分大时，xkδ,
但y(xk)=2kπsin2kπ=0M.不是无穷大.
例证明●
证VM0.要使
只要,取
定义：如果则直线x=x?是函数y=f(x)
的图形的铅直渐近线
时，就有
三、无穷小与无穷大的关系
定理4在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小；
恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
证设
∴Vε0,3δ0,使得当0x-x?|δ时
恒有,即
∴当x→x?时，为无穷小.
反之，设且f(x)≠0.
∴VM0,3δ0,使得当0x-x?|δ时
恒有由于f(x)≠0,从而
∴当x→x?时，为无穷大.
意义关于无穷大的讨论，都可归结为关于无穷小的讨论.
四、小结
无穷小与无穷