培优点5平面向量奔驰定理与三角形四心问题
重点解读奔驰定理将三角形的四心与向量完美地融合到一起，揭示了平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律，同时也加强了对三角形的认识，加深了对数学的理解.
题型一奔驰定理
例1如图1，O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，求证：SAOA+SBOB+SCOC=0.(图1与奔驰汽车的标志(图2)类似，故上述结论称为“奔驰”定理)
证明如图，延长AO与BC相交于点D，
BDDC=S△ABDS△ACD=S△BODS△COD
则BD=λDC，即OD-OB=λ(OC-OD)，
所以-(1+λ)OD+OB+λOC=0，
又OD=-|OD||
所以SASB+SC1+
从而SAOA+SBOB+SCOC=0.
思维升华利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格遵循定理成立的条件，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比.
跟踪训练1已知O是△ABC内部一点，满足OA+2OB+mOC=0，且S△AOBS△ABC=47
A.2 B.3 C.4 D.5
答案C
解析由奔驰定理得
S△BOC·OA+S△AOC·OB+S△AOB·OC=0，
又OA+2OB+mOC=0，
∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶2∶m.
∴S△AOBS△ABC
解得m=4.
题型二奔驰定理与三角形四心问题
命题点1奔驰定理与重心
例2已知G是△ABC的重心，求证：GA+GB+GC=0.
证明∵G是△ABC的重心，
∴SA=SB=SC，
由奔驰定理得GA+GB+GC=0.
命题点2奔驰定理与外心
例3已知O是锐角△ABC的外心，求证：OAsin2A+OBsin2B+OCsin2C=0.
证明由O是锐角△ABC的外心，
得|OA|=|OB|=|OC|，
则∠AOB=2∠ACB，∠BOC=2∠BAC，
∠COA=2∠ABC，
于是SA∶SB∶SC=sin2A∶sin2B∶sin2C，
根据奔驰定理得到OAsin2A+OBsin2B+OCsin2C=0.
命题点3奔驰定理与内心
例4已知O是△ABC的内心，求证：aOA+bOB+cOC=0.(其中a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边长)
证明设△ABC的内切圆半径为r，O是△ABC的内心，则SA∶SB∶SC=ar2∶br2∶cr2=a∶b
根据奔驰定理得，O是△ABC的内心，
∴aOA+bOB+cOC=0.
命题点4奔驰定理与垂心
例5已知O是△ABC(非直角三角形)的垂心，求证：OAtanA+OBtanB+OCtanC=0.
证明O是△ABC(非直角三角形)的垂心，
∴OA·OB=OB·OC=OC·OA，
∴|OA|·|OB|cos(π-C)
=|OB|·|OC|cos(π-A)
=|OC|·|OA|cos(π-B)，
∴|OA|∶|OB|∶|OC|=cosA∶cosB∶cosC，
∴SA∶SB∶SC=tanA∶tanB∶tanC，
由奔驰定理得，O是△ABC(非直角三角形)的垂心，
∴OAtanA+OBtanB+OCtanC=0.
思维升华推论1：P是△ABC所在平面内任意一点，PG=13(PA+PB+PC)?G是△
推论2：P是锐角△ABC所在平面内任意一点，PO=PAsin2A+PBsin2B+
推论3：P是△ABC所在平面内任意一点(其中a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C所对的边长)，O是△ABC的内心?PO=aPA
推论4：P是△ABC(非直角三角形)所在平面内任意一点，O是△ABC(非直角三角形)的垂心?PO=PAtan
跟踪训练2奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·MA+SB·MB+SC·MC=0.以下命题错误的是()
A.若SA∶SB∶SC=1∶1∶1，则M为△ABC的重心
B.若M为△ABC的内心，则BC·MA+AC·MB+AB·MC=0
C.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SA∶SB∶SC=3∶2∶1
D.若M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，则cos∠AMB=-6
答案C
解析对于A，取BC的中点D，连接MD，如图，
由SA∶SB∶SC=1∶1∶1，则MA+MB+MC=0，
所以2MD=MB+MC=-MA，
所以A，M，D三点共线，且AM=23
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得CM=23CE，BM=23BF，所以M为△
对于B，由M为△ABC的内心，则可设其内切圆半径为r，
则有SA