训练18平面向量的数量积[分值：65分]
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.(2024·聊城模拟)若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为()
A.π6 B.π3 C.2π
答案C
解析由题可知，|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝0?a·b＝－1，
∴cos〈a，b〉＝a·b|
∵〈a，b〉∈[0，π]，
∴向量a与b的夹角为2π3
2.已知向量|a|＝2，|b|＝1，且|a－2b|＝10，则b在a方向上的投影向量为()
A.14a B.－14a C.18a D.
答案D
解析∵|a|＝2，|b|＝1，且|a－2b|＝10，
∴|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝10，
∴4－4a·b＋4＝10，a·b＝－12
∴b在a方向上的投影向量为|b|cos〈a，b〉a|a|＝|b|a·b|a
3.(2024·包头模拟)如图所示，正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点，F是DC的中点，则(EB＋EF)·BF等于(
A.4 B.3
C.－4 D.－3
答案D
解析如图，建立平面直角坐标系，
则B(2，0)，E(0，1)，F(1，2)，
∴EB＝(2，－1)，EF＝(1，1)，BF＝(－1，2)，
∴EB＋EF＝(3，0
故(EB＋EF)·BF＝－1×3＋2×0
4.(2024·钦州、柳州模拟)已知点P是边长为2的正三角形ABC所在平面内一点，满足PC·(PA＋PB)＝0，则|PB|的最小值是(
A.5-22
C.1 D.7
答案D
解析设边AB的中点为D，
则PA＋PB＝2
PC·(PA＋PB)＝0，即为PC·PD＝
则点P在以CD为直径的圆上，且|CD|＝3，
则半径r＝32，设CD的中点为O，则|PB|的最小值为|OB|－r＝1
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，m)，则下列结论正确的是()
A.若a∥b，则m＝6
B.若a⊥b，则m＝3
C.若|a－b|＝5，则m＝－1
D.若m＝－1，则向量a，b的夹角是3π
答案BD
解析A选项，由a∥b，得m－2×(－3)＝0，解得m＝－6，则A错误；B选项，由a⊥b，得1×(－3)＋2m＝0，解得m＝32，则B正确；C选项，a－b＝(1，2)－(－3，m)＝(4，2－m)，因为|a－b|＝5，所以16＋(2－m)2＝25，解得m＝－1或m＝5，则C错误；D选项，由m＝－1，得a·b＝(1，2)·(－3，－1)＝－3－2＝－5，|a||b|＝5×10＝52，则cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝-552＝－22，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b
6.(2025·黄山模拟)如图，EF为圆O的一条直径，点P是圆周上的动点，M，N是直径EF上关于圆心O对称的两点，且EF＝8，MN＝6，则()
A.PM
B.PE
C.PM·PNPE·PF
D.PF－PE
答案BC
解析由题意可得|EM|＝|NF|＝1.
对于A，可得PM＝PE＋EM＝PE
对于B，由EM＝NF，可得PM－PE＝
对于C，由题意可得0°∠MPN∠EPF＝90°，EP⊥PF，则PM·PN＝|PM||PN|cos∠MPN0，PE·PF＝0，∴PM·PNPE·PF，故C正确；
对于D，PF－PE＝EF，PN
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2024·邯郸模拟)若向量a，b满足|a|＝|b|，|a＋2b|＝3|a|，则向量a，b的夹角为.?
答案2π
解析由|a＋2b|＝3|a|，得|a＋2b|2＝3|a|2，
又|a|＝|b|，
∴|a|2＋4|a||b|cos〈a，b〉＋4|b|2
＝5|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝3|a|2，
∴cos〈a，b〉＝－12
又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝2π3
8.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.在边长为2的正八边形ABCDEFGH中，若AE＝λAC＋μAF(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为；若P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则AP·AB的最小值为.?
答案2－22
解析因为AF⊥AB，以点A为坐标原点，分别以AB，AF所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(0，0)，B(2，0)，C(2＋2，2)，E(2，2＋22)，F(0，2＋22)，
AE＝(2，2＋22)，AF＝(0，2＋22)，AC＝(2＋2，2)，
因为AE＝λAC＋μAF，
则(2，2＋22)＝λ(2＋2，2)＋μ(0，2＋22)，
所以2
解得λ＝2－2，μ＝22－2，
所以λ＋μ＝2.