主讲：朱祥荣湖州师范学院理学院第三章量子力学中的力学量氢原子1
1.电子在库仑场中的运动Hamiltonianoperator的本征值方程（定态Schr?dinger方程）设库仑场中运动粒子的势能（1）在球坐标系中2§3.3氢原子（1）库仑场作用下的薛定谔方程
设（2）将式（2）代入方程（1），采用分离变量法得（3）径向方程（4）角向方程（5）角向方程（4）与库仑场的势函数无关，即不管库仑场的形式如何，当，且时，该方程在内的单值有限解均为球谐函数3§3.3氢原子
方程（3）是有关径向波函数的微分方程，称为径向方程，由它求出，便可知道，但要求径向方程的解必须先要知道的具体形式。（2）库仑场中径向方程的解（氢原子）（类氢原子）电子受核的吸引，其势为库仑势电子在核的电场中运动，核带正电荷，为原子序数4§3.3氢原子
将库仑势代入径向方程（3）得（6）令（7）代入方程（6），则有（8）当，原子中的电子电离脱离原子到无穷远处，即，方程（8）的极限形式5§3.3氢原子
满足波函数的连续、单值和有限条件，因此对E没有什么限制，所以的一切值都允许（连续谱）当，方程（8）写成（9）电子处在束缚态，应具有分离谱令（10）（11）（12）6§3.3氢原子
方程（9）变成（13）?（15）（16）7§3.3氢原子研究这个方程的渐近行为，当时，方程变为???根据波函数应该有限性（14）所以时，有??一般情况下，可设波函数为
利用幂级数求解微分方程的方法解方程（16）（17）设?8§3.3氢原子???（18）
9§3.3氢原子因此（18）式分子在最高项n时必须等于0，即有???（19）?（20）联立（12）和（19）式得到类氢原子能量算符的本征值（12）可见，库仑场中的粒子处在束缚态时，其能量为分立值，即能量是量子化的。
（21）其中，为一任意常数，称为缔合拉盖尔多项式10§3.3氢原子?微分形式拉盖尔多项式
11§3.3氢原子（21）角量子数将的表示式（21）代入（15）式，便得到的表示式，然后代入（7）式，得到径向波函数式中为玻尔半径为径向波函数的归一化常数，由归一化条件求得
库仑场中运动电子处在束缚态时波函数磁量子数角量子数主量子数（3）电子的能量本征值与波函数能量本征值12§3.3氢原子
讨论:（1）是的共同本征函数系可见，是电子三个算符的共同本征函数系，当量子数给定时，就确定了一个状态，力学量可同时测定。当粒子处在任一状态时，它可用构成的函数系展开，因此，构成一组力学量完全集。13§3.3氢原子
（2）电子的第n个能级En是n2度简并的粒子处在束缚态，对于第个能级，角量子数可取，共个值；对于一个值，磁量子数可取，共个值。因此，对于第个能级，共有个波函数，即的简并度为n2例如n=2时，E2是4度简并的，对应的波函数有14§3.3氢原子
由上面求解过程可以知道，由于库仑场是球对称的，所以径向方程与无关，而与有关。所以，库仑场中电子的能级只与有关，与无关，对简并，这是库仑场所特有的。（3）一般中心力场的简并度情况15§3.3氢原子对Li,Na,