专题4：零点不可求破解策略
专题综述
专题综述
函数零点不可求即“隐零点”问题，其含义题是：如果题干中未提及零点或零点不明确，依据有关理论（如函数零点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，通常称之为隐性零点.我们一般可对零点“设而不求”，通过一种整体的代换和过渡，再结合其他条件，从而最终解决问题．我们称这类问题为隐零点”问题（零点大小确定的叫“显零点”）．处理此类问题的策略可考虑“函数零点存在定理”、“构造函数”、利用“函数方程思想”转化等，从操作步骤看，可遵循如下处理方法：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程fx0=0，并结合f(x)的单调性得到零点的范围；这里应注意，确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到，等等；至于隐性零点范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围；第二步：以零点为分界点，说明导函数fx的正负，进而得到
专题探究
专题探究
“函数的零点”是高中数学函数非常重要的教学内容.函数的零点从不同的角度将数与形、函数与方程有机地联系在一起，在解决函数与方程问题中的函数的零点问题时，要掌握转化与化归思想的运用.求解基本方法：(1)利用零点存在的判定定理判定（卡根）或构建不等式求解；(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”（即能确定其存在，但又无法用显性的代数式进行表达），基本解题思路是：形式上虚设（虚设零点），运算上代换（整体代换），数值上估算（猜根），策略上等价转化（设而不求），方法上分离函数（分参），技巧上反客为主.
题型一：
题型一：应用零点存在定理
题设情境是求常系数函数的单调性和证明含参变量函数唯一零点的范围。第（1）问应用导数研究函数单调性的基本方法，求函数fx的单调性；第（2）应用导数探究函数存在唯一极值点,应用函数零点定理及卡根与放缩技巧确定点极值点的取值范围,然后由极值点与函数零点唯一的充要条件得到关于唯一零关系式,最后构造函数证明
例1已知函数fx=ex?1
(1)当a=e?12时，求函数
(2)当a0时，若函数fx有唯一零点x0，证明：
【思路点拨】
第（1）问根据题意得fx=ex?1?1x?e+12，又f″x=ex?1+1x20，所以fx在0,+∞上单调递增，易知f2=0，从而即可求解单调性；第（2）问根据（1）可知fx在0,+∞上单调递增，又恒成立，应用零点存在定理卡根f1+a=1?1
练1(2024·河北省·联考题)已知函数f(x)=a(x?e)(lnx?1)?e与g(x)=
(1)求a;
(2)证明：当0x≤2e时，f(x)≥g(x)．
练2(2025·浙江省·月考试卷)已知函数fx=
(1)求fx在x=0
(2)求证：fx
(3)求证：fx有且仅有两个零点．
题型二：
题型二：应用极限思想
题设情境是求常系数函数的单调性和探究函数零点的个数。第（1）问应用导数研究函数单调性的基本方法，求函数fx的单调性
例2已知函数.
（1）求g(x)的单调区间；
（2）令fx=2cosx+gx
【思路点拨】
第（1）问应用导数研究函数单调区间的方法，由g(x)0x0解得函数增区间，g(x)0x0解得减区间；第（2）问根据函数f(x)的定义域以及正弦、余弦函数的单调性和有界性，综合应用零点存在定理和极限思想,分
练3（2025·江苏省·月考试卷）已知函数f(x)=4a
（1）若a=1，求证：当x0时，x(f(x)?x)4
（2）讨论方程f(x)=2的根的个数．
练4（2024·福建省·模拟题）已知函数f(x)=(x?1)e
(1)讨论函数f(x)的零点个数；
(2)当a=e?32时，证明：
题型三：
题型三：应用函数与方程思想
题设情境是由两函数有相同最小值求参数的值，由同一直线与两常系数函数存在两个不同交点和一个相同交点，推导这三个从左到右的三个交点的横坐标成等差数列。第（1）问应用导数研究函数最值的基本方法，结合函数与方程思想得到关于a方程而求其值；第（2）问应用导数研究函数的单调性，结合数形结合思想探究直线y=b与两函数有“三个交点”的必要条件，即实数b的取值范围,然后由两函数的“非公共相点”与“公共交点”的相关关系，应用函数与方程思想和数学建模方法实现“三个交点的横坐标成等差数列”的证明.
例3已知函数和g(x)=ax?lnx有相同最小值．
（1）求a；
（2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【思路点拨】
第