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第04讲坐标法和极化恒等式在平面向量中的应用

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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

知识点01平面直角坐标系建系的常见技巧

1、前言

坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标。对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的。

2、技巧

①涉及到含有垂直的图形，如长方形、正方形、直角三角形、等边三角形、直角梯形、菱形的对角线等等；

②虽然没有垂直，但有特殊角，如30°、45°、60°、120°、135°等等。

知识点02极化恒等式

设a，b是平面内的两个向量，则有

证明：，①，②

将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．

①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得．

即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”．

②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得，

该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．

注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．

【考点一：坐标法求式子的最值与范围】

一、单选题

1．（24-25高一下·江苏连云港·期中）边长为2的正方形上有一动点，则向量的最大值是（???）

A．1 B．2 C． D．4

2．（20-21高一下·辽宁·阶段练习）已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点（含端点），则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

3．（23-24高一下·山西太原·期中）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在弧AC上，且，则（????）

??

A． B． C． D．

4．（23-24高一下·甘肃白银·期末）在中，，，，若，则等于（????）

A．7 B．8 C．12 D．13

5．（2024·全国·模拟预测）在直角梯形ABCD中，，，，，M是CD的中点，N在BC上，且，则（????）

A． B． C． D．

6．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是正六边形的中心，若，则点的纵坐标为（????）

A． B． C． D．

7．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）平行四边形中，，，，点在边上，则的最大值是（????）

A． B． C． D．

8．（24-25高一下·江苏盐城·期中）如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

9．（23-24高一下·山东烟台·阶段练习）在中，，当时，的最小值为4．若，，其中，则的最大值为（????）

A．2 B．

C． D．

【考点二：极化恒等式解决数量积的最值与范围问题】

一、单选题

1．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）在中，内角的对边分别为，已知，为的中点，且，则（???）

A．3 B．5 C．6 D．12

2．（2024高一·全国·专题练习）已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（????）

A．5 B．6 C．7 D．8

3．（23-24高一下·山东日照·期末）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（???）

A． B． C． D．

4．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（???）

A． B． C． D．-2

一、单选题

1．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（???）

A． B． C． D．

2．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围