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第04讲坐标法和极化恒等式在平面向量中的应用
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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢
重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺
举一反三：核心考点能举一反三，能力提升
复习提升：真题感知+提升专练，全面突破
知识点01平面直角坐标系建系的常见技巧
1、前言
坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标。对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的。
2、技巧
①涉及到含有垂直的图形，如长方形、正方形、直角三角形、等边三角形、直角梯形、菱形的对角线等等；
②虽然没有垂直，但有特殊角，如30°、45°、60°、120°、135°等等。
知识点02极化恒等式
设a，b是平面内的两个向量，则有
证明：，①，②
将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．
①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得．
即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”．
②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得，
该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．
注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．
【考点一：坐标法求式子的最值与范围】
一、单选题
1．（24-25高一下·江苏连云港·期中）边长为2的正方形上有一动点，则向量的最大值是（???）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，分在正方形的四条边上的情况分别求解即可．
【详解】如图，分别以为轴建立平面直角坐标系，
则，
设，则，，所以，
当在边或上时，，所以，
当在边上时，，所以，
当在边上时，，所以，
所以的取值范围是，所以向量的最大值是．
故选：D.
2．（20-21高一下·辽宁·阶段练习）已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点（含端点），则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角形的对称性建立坐标系，利用坐标运算再结合二次函数求出结果即可.
【详解】以中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
设，
则，
所以，
因为，所以，
所以的取值范围是.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意建立坐标系，用坐标表示向量的数量积计算即得.
3．（23-24高一下·山西太原·期中）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在弧AC上，且，则（????）
??
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，利用坐标法求向量数量积.
【详解】以为原点，为轴，点在第一象限，建立如图所示的平面直角坐标系，
????
则有，，,为弧上的点且，则，
，
.
故选：A.
4．（23-24高一下·甘肃白银·期末）在中，，，，若，则等于（????）
A．7 B．8 C．12 D．13
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，通过数量积的坐标运算即可求解.
【详解】如图，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.
过作，且，连接，延长到，使，
连接，则四边形为平行四边形，
.
又，
为边的中点.
根据条件得，，，，
，，
.
故选：C.
??
5．（2024·全国·模拟预测）在直角梯形ABCD中，，，，，M是CD的中点，N在BC上，且，则（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解法一??建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，从而求出，的坐标，最后利用向量的夹角公式即可得解；解法二??以，为基底，通过向量的线性运算用基底将，表示出来，再利用向量的夹角公式即可得解．
【详解】解法一??如图，建立平面直角坐标系，则，，，，
∴，，∴，∴，
则，∴，
故选：A．
??
解法二??设，，则，，，，
，
∴，
，，
∴，
故选：A．
6．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是正六边形的中心，若，则点的纵坐标为（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】据题意求出正六边形的半径，设出的坐标，再利用向量的数量积和半径列出方程组，求解即可.
【详解】因为，，所以，
所以，设，则，
根据正六边形的性质有：