数形结合突破难点
【摘要】本文以苏教版数学四年级下册“乘法分配律”的教学实践为例，围绕“数形结合”的思想，从起因、错题分析、教学改进前的思考、教学改进尝试、改进实践后的成效这几个方面层层深入地探究教学新方法，从而突破教学难点，提高教学效率。
【关键词】教学难点数形结合教学探索
某省小学生数学学业水平测试中有这样一道题（见图1）。
测试下来，正确率比较低。那么，笔者所在的区域学校学生的情况如何呢？笔者在一所乡镇学校随机抽取了五年级的一个班级的学生用这道题进行了测试，结果统计如下（见图2）。
测试班应测41人，实测41人，选项选A的有9人，选B的有3人，选C的有10人，选D的有19人。
二、错题分析
此题的正确选项应选D，从测试结果情况来看，笔者觉得有点出乎意料，因为苏教版数学教材把“乘法分配律”这个内容安排在四年级下册进行教学，而这个测试是安排在四年级下册期末复习时进行的，按理说，学生刚学过，而且也复习整理过，不应该只有46.3%的正确率，但事实摆在眼前，那么，是什么原因造成如此低下的正确率？笔者个别访谈了几位五年级的任课教师，他们普遍认为，“乘法分配律”比较难教。那么，乘法分配律到底“难”在哪儿？
（一）形式复杂
概括叙述乘法结合律比较容易，但叙述乘法分配律就比较难。我们不妨把乘法结合律与乘法分配律的文字表述与字母公式进行比较（见表1）。
我们可以看出，乘法结合律是只有乘法的一种运算定律，书写形式相对比较简单，概念的叙述比较清晰，而乘法分配律是含有乘法和加法两种混合运算的运算律，等式中既有加法计算，又有乘法计算，而且等式左右两边的数字不完全相同（等式左边有三个数字，等式右边有四个数字），表达的形式也不对称（等式左边有小括号，等式右边没有小括号;等式左边只有一个乘号，等式右边有两个乘号），教材安排的教学过程是“解决一个实际问题—看到一个数学现象—举出更多例子—在众多案例中抽象概括”，要求学生根据给出的三个等式抽象概括出乘法分配律的规律确实有点勉为其难。
（二）应用灵活
乘法分配律是所有运算律中应用相对比较广泛的运算律，而且形式多样，应用非常灵活，特别是它的隐蔽性特别强，变式又特别多，导致学生在运用乘法分配律的规律进行计算时往往漏洞百出。下面是学生在实际应用时出现的几种常见的错误。
（1）405×16=405×10+6
错因分析：乘法分配律理解不透，没有掌握“分别相乘”的本质。
（2）405×（2×8）=405×2+405×8
错因分析：乘法分配律理解模糊，与乘法结合律混淆。
（3）405×16=400×10+5×6
错因分析：乘法分配律理解不深刻，凭感觉拆分计算。
从以上实例，我们可以看出，学生学习乘法分配律在客观上存在着很大的认知困难，乘法分配律一直以来也被公认为是一个学习难点。另外，笔者在与一些任课教师的交流中发现，大家也都认为，乘法分配律是学生在学习了乘法交换律、结合律之后再一次深入地认识运算律。與乘法交换律、结合律相比，乘法分配律的形式复杂、算理抽象、变式多样，由于学生没有生活经验基础及相关认识，他们没能真正理解其内涵，只是纯粹地模仿。课后，学生对这个知识点的遗忘速度非常快，且不会灵活运用。数学基础薄弱的学生，哪怕硬记了分配律的各种类型，依旧会边记边忘，更谈不上从真正意义上去理解。但是，教师苦于想不出好的教学方法去帮助学生理解乘法分配律的内涵。
三、教学改进前的思考
通过对教材、学生学情前测和教师访谈的分析，笔者认为，学生只是机械地记住了乘法分配律的形式，而没有很好地理解乘法分配律的意义的根本原因是学生在理解意义时缺少一个载体，这让笔者想到“数形结合”的思想。数学家华罗庚先生曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休。”如果教师在教学时能辅之以直观的图形模型来帮助理解，从模型的角度组织教学，可以更加凸显“抽象—推理—建模”的数学思想，效果肯定会更好。
基于以上考虑，笔者在教学设计时，以“有一条边相等的两个长方形面积之和”的素材为教学载体，试图让学生经历具体问题、类比推理、建立模型、解释模型的过程，充分感受数学模型的思想;在后续的拓展中再不断赋予模型“生长”的力量，让乘法分配律的模型既源于图形，又高于图形，使学生对乘法分配律意义的理解更深刻、更丰满。
四、教学改进尝试
（一）谈话引入
（课件出示长方形图）
师：同学们，这是什么图形？你会求长方形的面积吗？（长×宽）还可以怎样求？（宽×长）。
（二）感受模型
师出示王大爷的菜地图（见图3）。
（1）王大爷种了哪两块菜地？它们的长和宽各是多少？
（2）你能提出有关面积计算的问题吗？我们先来研究两块菜地的总面积。
（3）请你列综合算式计算两块地的总面积。学生练习，教师巡视。
（4）交流算法[学生可能提出6×9+2×9和（6+2）×9]，师板书算式，说说你这种算法是先求什么，