必刷大题12数列的综合问题
(分值：60分)
1.(13分)(2024·咸阳模拟)已知正项数列{an}满足a12+a22+…+an2=n
(1)求数列{an}的通项公式；(6分)
(2)若cn=1an+1an2，求数列{cn
解(1)因为a12+a22+…+an2=n(n
当n=1时，a12
当n≥2时，a12+a22+…+an
①-②得an2=n(n+1)2-n(
又因为a12=1符合上式，所以an
因为an0，所以an=n.
(2)由an=n，可得cn=1an+1an2=
则Sn=c1+c2+c3+…+cn=1?12+12?13+13?1
2.(15分)(2024·三明模拟)已知数列{an}满足：a1=2，a2=4，an+2=3an+1-2an.
(1)证明：数列{an+1-an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；(7分)
(2)在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，求数列1dn的前n项和T
解(1)因为an+2=3an+1-2an，
所以an+2-an+1=2(an+1-an)，
又因为a1=2，a2=4，所以a2-a1=2≠0，
所以an+2
所以数列{an+1-an}是首项为2，公比为2的等比数列.
所以an+1-an=2×2n-1=2n，
当n≥2时，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+21+2
=2(1?2n?1
当n=1时，a1=2也满足上式，
故数列{an}的通项公式为an=2n.
(2)由题意可知an+1-an=(n+2-1)dn，
所以(n+1)dn=an+1-an=2n，
所以1dn=
所以Tn=221+322+423+
将①式两边同时乘以12，得12Tn=222+323+42
①-②得12Tn=1+122+123+12
=1+141?12n?11?
所以Tn=3-n+3
故数列1dn的前n项和Tn=3-
3.(15分)(2025·南京模拟)已知{an}是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，且a2=3，a1，a3，a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；(7分)
(2)定义在数列{an}中，使log3(an+1)为整数的an叫做“调和数”，求在区间[1，2025]内所有“调和数”之和Tn.(8分)
解(1)因为a1，a3，a7成等比数列，
所以a32=a1a
因为{an}是各项均为正数，公差不为0的等差数列，设其公差为d，d≠0，
所以a
所以a
所以an=a1+(n-1)d=n+1.
(2)设b=log3(an+1)，且b为整数，所以an=3b-1，
所以1≤3b-1≤2025，
所以b可以取1，2，3，4，5，6，
所以在区间[1，2025]内所有“调和数”之和
Tn=(31-1)+(32-1)+(33-1)+(34-1)+(35-1)+(36-1)
=(31+32+33+34+35+36)-6
=3×
=1086.
4.(17分)(2024·孝感模拟)定义矩阵运算：abcdxy=ax+bycx+dy.已知数列{an}，{bn
(1)证明：数列{an}，{bn}分别为等差数列，等比数列；(8分)
(2)求数列{a2n+3b2n-1+1}的前n项和Sn.(9分)
(1)证明因为n11n
所以n
消去an，得(n2-1)bn=(n2-1)2n，
当n≥2时，bn=2n，则an=n；
当n=1时，由nan+bn=n2+2n及a1=1，得b1=2=21，
所以an=n，bn=2n(n∈N*)，
因为an+1-an=1，bn+1
所以数列{an}为公差为1的等差数列，{bn}为公比为2的等比数列.
(2)解由(1)知a2n+3b2n-1+1=2n+1+3×22n-1=2n+1+32×4n
则Sn=(3+5+…+2n+1)+32×(41+42+…+4n)=(3+2n+1)n2+32×4(1?4n)1?4