§6.3等比数列
课标要求1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.掌握等比数列前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系.
1.等比数列有关的概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比都等于常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母q(q≠0)表示.?
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成数列，那么叫做a与b的等比中项，此时，G2＝.?
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an＝.?
(2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m.
(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.?
3.等比数列的常用性质
(1)若m＋n＝p＋q，则，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则，其中m，n，w∈N*.?
(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为(k，m∈N*).?
(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和panqbn也是等比数列(b，p，
(4)若a10,q1或a10,0q1,
若a10,0q1或a10,q1,
4.等比数列前n项和的常用性质
若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，，仍成等比数列(公比q＝－1且n为偶数除外)，其公比为qn.?
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数.()
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.()
(3)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.()
(4)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积.()
2.(2024·临汾模拟)在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4，则a3等于()
A.2 B.－2
C.±2 D.22
3.(2024·呼伦贝尔模拟)已知数列{an}是正项等比数列，且a2a8＝32－a3a7，则a5等于()
A.2 B.2
C.4 D.22
4.(多选)设数列{an}是各项均为正数的等比数列，则()
A.a3，a5，a7成等比数列
B.数列{an3
C.数列{lgan}是等比数列
D.数列1a
解题时关注三个关键点
(1)当q≠0，且q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝a1
(2)由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
(3)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.
题型一等比数列基本量的运算
例1(1)(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4等于()
A.158 B.
C.15 D.40
(2)(2024·北京模拟)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第三天走的路程为()
A.12里 B.24里
C.48里 D.96里
思维升华等比数列基本量的运算的解题策略
(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解.
(2)解方程组时常常利用“作商”消元法.
(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解.
跟踪训练1(1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S8-S5S5-S2
A.16 B.8
C.6 D.2
(2)云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列{an}，则log2(a3a5)的值为()
A.8 B.10
C.12 D.16
题型二等比数列的判定与证明
例2(2024·福州模拟)已知数列{an}的首项a1