§6.7子数列问题
重点解读子数列是数列问题中的一种常见题型.将原数列转化为子数列问题一般适用于某个数列是由几个有规律的数列组合而成的，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位置，即项不变化，项数变化.
题型一奇数项与偶数项问题
例1已知数列{an}满足an+1＝2
且a1＝1.
(1)证明：数列{a2n－1}为等比数列；
(2)求数列{an}的前100项和S100.
思维升华数列中的奇、偶项问题的常见题型
(1)数列中连续两项和或积的问题(an+an+1＝f(n)或an·an+1＝f(n))；
(2)含有(－1)n的类型；
(3)含有{a2n}，{a2n－1}的类型.
跟踪训练1(2024·西安模拟)已知正项数列{an}中，a3＝4，a2a5＝32，且lnan，lnan+1，lnan+2成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝an+(－1)nlog2an+1，求数列{bn}的前n项和Tn.
题型二数列的公共项
例2已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2+n2，{bn}为等比数列，公比为2，且b1，b2+1
(1)求{an}与{bn}的通项公式；
(2)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列记为{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn.
思维升华两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两个等差数列公差的最小公倍数，两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数.
跟踪训练2(2025·沈阳模拟)已知数列an＝2n－1，bn＝3n－2，由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为{cn}，则数列{cn}的通项公式为()
A.cn＝3n－2 B.cn＝4n－1
C.cn＝5n－3 D.cn＝6n－5
题型三数列增减项
例3(2024·滨州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝7，S5＝25.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak+1(k＝1，2，…)之间插入2k－1个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，求{bn}的前50项和T50.
思维升华对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先判断数列之间共插入(减少)了多少项(运用等差等比求和或者项数公式去看)，再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项.
跟踪训练3已知数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝n2+n，在等比数列{an}中，a1＝b1，a4＝b8.
(1)求数列{bn}与{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}中去掉{an}中的项后余下的项按原顺序组成数列{cn}，求{cn}的前20项和.
答案精析
例1(1)证明由题意，得当n∈N*时，a2n＝2a2n－1－1，①
a2n+1＝a2n+1，②
将①代入②，得a2n+1＝2a2n－1，
所以数列{a2n－1}是首项为1，公比为2的等比数列.
(2)解由(1)知a2n－1＝2n－1，
因为a2n＝2a2n－1－1，
所以a2n＝2·2n－1－1＝2n－1.
所以S100＝(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)
＝(20+21+…+249)+(21－1+22－1+…+250－1)
＝(20+21+…+249)+(21+22+…+250)－50
＝1×(1-250
＝3×250－53.
跟踪训练1解(1)∵lnan，
lnan+1，lnan+2成等差数列，
∴2lnan+1＝lnan+lnan+2，
即an+12＝anan+2，而a
∴{an}为等比数列，
设{an}的公比为q，q0，
则a
得a1＝1，q＝2，∴an＝2n－1.
(2)bn＝2n－1+(－1)nlog22n＝2n－1+(－1)nn，
当n为偶数时，
Tn＝(1+2+22+…+2n－1)+[－1+2－3+4－…－(n－1)+n]
＝1-2n1-2+n2＝2
当n为奇数时，
Tn＝Tn+1－bn+1＝2n+1+n-12－2n－(－1)n+1(n+1)＝2n－
∴Tn＝2
例2解(1)由Sn＝3n
当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1，
当n＝1时，上式也成立，
所以an＝3n－1.
依题意，b1+b3＝2(b2+1)，
b1+b1·22＝2(b1·2+1)，
解得b1＝2，所以bn＝2n.
(2)数列{an}和{bn}的公共项从小到大依次为21，23，25，27，…，所以21，23，25，27，…构成首项为2，公比为4的等比数列，所以cn＝2×4n－1，则Tn＝c1+c2+…+cn＝2(1-4
跟踪训练2D[因为数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，而数列{