第3节等比数列及其前n项和
考试要求1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.了解等比数列与指数函数的关系.
【知识梳理】
1.等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，则G2＝ab.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
(4)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列.
[常用结论与微点提醒]
1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq\o\al(2,n)}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也是等比数列.
2.数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和.
(1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，eq\f(T2n,Tn)，eq\f(T3n,T2n)，…成等比数列.
(2)若数列{an}的项数为2n，则eq\f(S偶,S奇)＝q；若项数为2n＋1，则eq\f(S奇－a1,S偶)＝q，或eq\f(S偶,S奇－an)＝q.
3.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
4.等比数列{an}的前n项和Sn，可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，0).
5.三个数成等比数列，通常设为eq\f(x,q)，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为eq\f(x,q3)，eq\f(x,q)，xq，xq3.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数.()
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.()
(3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝eq\f(a（1－an）,1－a).()
(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.()
答案(1)×(2)×(3)×(4)×
解析(1)在等比数列中，q≠0.
(2)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.
(3)当a＝1时，Sn＝na.
(4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列.
2.已知等比数列{an}中，a1＝27，a9＝eq\f(1,243)，q＜0，则S8＝________.
答案eq\f(1640,81)
解析由a1＝27，a9＝eq\f(1,243)，可得27×q8＝eq\f(1,243)，
即q8＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(8)，又由q＜0，得q＝－eq\f(1,3)，
所以S8＝eq\f(1640,81).
3.(选修二P37T3改编)在等比数列{an}中，已知a2＝6，6a1＋a3＝30，则an＝________.
答案3·2n－1或2·3n－1
解析设数列{an}的公比为q，
由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q＝6，,6a1＋a1q2＝30，))
解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(q＝2，,a1＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(q＝3，,a1＝2，))
故an＝3·2n－1或an＝2·3n－1.
4.已知在等比数列{an}中，a1a3a11＝8，则a