§3.6函数中的构造问题
重点解读1.函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.2.同构函数问题是指在不等式、方程、函数中，通过等价变形形成相同形式，再构造函数，同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题.
题型一导数型构造函数
命题点1利用f(x)与x构造函数
例1(2024·绵阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(-x)，且当x∈(-∞，0]时，f(x)+xf(x)0成立，若a=30.2·f(30.2)，b=ln2·f(ln2)，c=log319·f?log319，则a，b，
A.abc B.cba
C.cab D.acb
答案A
解析令g(x)=xf(x)，x∈R，
因为f(x)=f(-x)，所以g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x)，
所以g(x)为奇函数，
又因为当x∈(-∞，0]时，f(x)+xf(x)0，
所以当x∈(-∞，0]时，g(x)=f(x)+xf(x)0，所以g(x)在(-∞，0]上单调递增，
又g(x)为奇函数，
所以g(x)在R上单调递增，
又因为a=30.2·f(30.2)=g(30.2)，
b=ln2·f(ln2)=g(ln2)，
c=log319·f?log319=glo
又-20ln2lne=1=3030.2，
所以g(-2)g(ln2)g(30.2)，即abc.
思维升华(1)出现nf(x)+xf(x)形式，构造函数F(x)=xnf(x).
(2)出现xf(x)-nf(x)形式，构造函数F(x)=f(
跟踪训练1已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足xf(x)-f(x)0，且f(2)=2，则f(ex)-ex0的解集是()
A.(-∞，ln2) B.(ln2，+∞)
C.(0，e2) D.(e2，+∞)
答案A
解析令g(x)=f(x)x，x∈(0
则g(x)=xf(
故g(x)=f(x)x在(0
结合f(2)=2，得g(2)=f(2)2
由f(ex)-ex0，得f(e
即g(ex)g(2)，∴ex2，则xln2，
即f(ex)-ex0的解集是(-∞，ln2).
命题点2利用f(x)与ex构造函数
例2已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x)0，且有f(3)=3，则f(x)3e3-x的解集为.?
答案(3，+∞)
解析设F(x)=f(x)·ex，则F(x)=f(x)·ex+f(x)·ex=ex[f(x)+f(x)]0，
∴F(x)是增函数.
又f(3)=3，则F(3)=f(3)·e3=3e3.
∵f(x)3e3-x等价于f(x)·ex3e3，
即F(x)F(3)，
∴x3，即所求不等式的解集为(3，+∞).
思维升华(1)出现f(x)+nf(x)形式，构造函数F(x)=enxf(x).
(2)出现f(x)-nf(x)形式，构造函数F(x)=f(
跟踪训练2已知f(x)为定义在R上的可导函数，f(x)为其导函数，且f(x)f(x)恒成立，则()
A.f(2025)ef(2026)
B.ef(2025)f(2026)
C.ef(2025)=f(2026)
D.ef(2025)f(2026)
答案B
解析设g(x)=f(x)ex，则g(
因为f(x)f(x)恒成立，
即f(x)-f(x)0恒成立，
所以g(x)0恒成立，g(x)为增函数，
则g(2025)g(2026)，
则f(2025)e2025
即ef(2025)f(2026).
命题点3利用f(x)与sinx，cosx构造函数
例3(2025·杭州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)sinx+f(x)cosx0，则()
A.fπ33fπ6 B
C.fπ33fπ6 D
答案B
解析令F(x)=f(x)cosx，x≠π2+k
故F(x)=f(x
故F(x)=f(x)cosx在?
故Fπ6Fπ3，即fπ6cosπ6fπ3cos
思维升华函数f(x)与sinx，cosx相结合构造可导函数的几种常见形式
F(x)=f(x)sinx，
F(x)=f(x)sinx+f(x)cosx；
F(x)=f(
F(x)=f(
F(x)=f(x)cosx，
F(x)=f(x)cosx-f(x)sinx；
F(x)=f(
F(x)=f(
跟踪训练3(2024·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，π)，其导函数是f(x).若对任意的x∈(0，π)，有f(x)sinx-f(x)cosx0，则关于x的不等