训练25空间向量及其应用[分值：65分]
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝2π3，则l与α所成的角为(
A.2π3 B.π3 C.π6
答案C
解析∵线面角的范围是0，π2.〈a，n〉＝2π
∴l与α所成的角为π6
2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为()
A.3010 B.3015 C.3030
答案A
解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则
B1(2，2，2)，M(1，1，0)，D1(0，0，2)，N(1，0，0)，
∴B1M＝(－1，－1，－2
D1N＝(1，0，－2
∴cos〈B1M，D1N
3.已知向量n＝(2，0，1)为平面α的法向量，点A(－1，2，1)在α内，点P(1，2，－2)在α外，则点P到平面α的距离为()
A.55 B.1313 C.6565
答案A
解析由题意知，点A(－1，2，1)在α内，点P(1，2，－2)在α外，
所以AP＝(2，0，－3)，
又向量n＝(2，0，1)为平面α的法向量，
所以点P到平面α的距离为
d＝|AP
4.如图在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝2，AC＝1，BD＝2，则CD的长为()
A.2 B.3 C.23 D.4
答案B
解析∵CD＝
∴CD2＝CA2＋AB2＋BD2＋2CA·AB＋
∵CA⊥AB，BD⊥AB，
∴CA·AB＝0，BD·AB＝0，
CA·BD＝|CA||BD|cos(180°－120°)＝1×2×12＝1
∴CD2＝1＋2＋4＋2×1＝9
∴|CD|＝3.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.下列命题中正确的是()
A.已知直线l垂直于平面α，向量a与直线l平行，则a是平面α的一个法向量
B.一个平面的法向量有无数个，任意两个都是共线向量
C.若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行
D.直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直
答案BCD
解析选项A中，当a＝0时，也满足向量a与l平行，但a不是平面α的法向量，故A错误；
设向量n是平面α的一个法向量，则n是一个非零向量，向量n与平面α垂直.平面α的法向量有无数个，它们都与向量n平行，方向相同或相反，知选项B正确；C，D显然正确.
6.如图，△ABC和△DBC所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°，则()
A.直线AD与直线BC所成角的大小为90°
B.直线AB与直线CD所成角的余弦值为3
C.直线AD与平面BCD所成角的大小为45°
D.直线AD与平面BCD所成角的大小为60°
答案ABC
解析以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝2，则A(0，－1，3)，
B(0，0，0)，C(0，2，0)，
D(3，－1，0)，
所以AD＝(3，0，－3)，BC＝(0，2，0)，AB＝(0，1，－3)，CD＝(3，－3，0).
因为AD·BC＝0，所以AD⊥BC，
即直线AD与直线BC所成角的大小为90°，故A正确；
因为|cos〈AB，CD〉|＝|AB
所以直线AB与直线CD所成角的余弦值为34，故B
设AD与平面BCD所成的角为θ，因为n＝(0，0，1)是平面BCD的一个法向量，
所以sinθ＝|cos〈AD，n〉|＝|AD
所以θ＝45°，
即直线AD与平面BCD所成角的大小为45°，故C正确，D错误.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.若向量a＝(x，－4，－5)，b＝(1，－2，2)，且a与b的夹角的余弦值为－26，则实数x的值为
答案－3
解析根据题意得cos〈a，b〉
＝a·b|
即x-2x2＋41＝－22，且x2，解得x＝11(舍去
8.已知直线l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的一个法向量是n＝(2，3，3).若l⊥α，则a＋b＝.?
答案2
解析∵m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)是直线l的方向向量，
n＝(2，3，3)是平面α的一个法向量，l⊥α，∴m∥n，
∴12＝a＋2b3＝a
∴a＋b＝2.
四、解答题(共23分)
9.(11分)斜三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为2，点A1在下底面ABC上的投影为AB的中点O.
(1)在棱BB1(含端点)上是否存在一点D，使A1D⊥AC1？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；(6分)
(2)求点A1到平面BCC1B1的距离.(5分)
解(1)连接OC，
因为