§7.6空间向量的概念与运算
课标要求1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.
1.空间向量的有关概念
名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
长度相等而方向相反的向量
共线向量(或平行向量)
表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一个平面的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p=xa+yb.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.{a，b，c}叫做空间的一个基底.
3.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
非零向量a，b的数量积
a·b=|a||b|cos〈a，b〉.
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3).
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1+a2b2+a3b3
共线
a=λb(b≠0，λ∈R)
a1=λb1，a2=λb2，
a3=λb3
垂直
a·b=0
(a≠0，b≠0)
a1b1+a2b2+a3b3=0
模
|a|
a
夹角余弦值
cos〈a，b〉=a
(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉=
a
4.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，那么称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则称向量a为平面α的法向量.
(3)空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2?n1=λn2(λ∈R)
l1⊥l2
n1⊥n2?n1·n2=0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l?α
l∥α
n⊥m?n·m=0
l⊥α
n∥m?n=λm(λ∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m?n=λm(λ∈R)
α⊥β
n⊥m?n·m=0
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面.(√)
(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.(×)
(3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有AB+BC+
(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(×)
2.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设AB=a，AD=b，AA1=c，则下列向量中与
A.-12a+12b+c B.12a+1
C.-12a-12b-c D.-12a-1
答案C
解析C1M=C1C+CM=C1C+12(
3.若平面α外的直线l的方向向量为a=(1，0，-2)，平面α的法向量为m=(8，-1，4)，则()
A.l⊥α B.l∥α
C.a∥m D.l与α斜交
答案B
解析根据题意，直线l的方向向量为a=(1，0，-2)，
平面α的法向量为m=(8，-1，4)，易得a·m=1×8-2×4=0，
又直线l在平面α外，则有l∥α.
4.已知空间向量a=(λ，1，2)，b=(2，λ+1，λ)，若a∥b，则实数λ=.?
答案-2
解析由a∥b，可设b=μa(μ∈R)，
则(2，λ+1，λ)=(μλ，μ，2μ)，
所以2=μλ,λ
1.牢记空间中三点共线、四点共面的充要条件
(1)在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：OA=xOB+yOC(其中x+y=1)，O为平面内任意一点.
(2)在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1)，O为空间任意一点.
2.解题时防范以下几个易误点
(1)向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b=b·a，a·(b+c)=a·b+a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.
(2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量.
(3)直线的方向向量和平面的法向量均不为零向量且不唯一.
题型一空间向量的线性运算
例1(1)已知向量AB=(1，a，-2)，AC=(-3，6，b)，若A，B，C三点共线，则a-