复变函数初等函数第1页，共26页，星期日，2025年，2月5日P34T32证明：第2页，共26页，星期日，2025年，2月5日第三节初等函数一、指数函数二、对数函数三、乘幂ab与幂函数四、三角函数和双曲函数五、反三角函数和反双曲函数重点把握以下几点1、初等函数定义2、初等函数的性质3、与实变函数的区别第3页，共26页，星期日，2025年，2月5日一、指数函数实变：1.指数函数的定义:处处可导第4页，共26页，星期日，2025年，2月5日指数函数(exponential记作:function)注：第5页，共26页，星期日，2025年，2月5日例1解重要性质：第6页，共26页，星期日，2025年，2月5日例2求出下列复数的辐角主值:解第7页，共26页，星期日，2025年，2月5日二、对数函数1.定义令即所以对数函数是一个多值函数呦!第8页，共26页，星期日，2025年，2月5日其余各值为特殊地,第9页，共26页，星期日，2025年，2月5日例３解注意:在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.（1）（2）或者第10页，共26页，星期日，2025年，2月5日例４解第11页，共26页，星期日，2025年，2月5日2.对数函数的性质（3）在除去负实轴（包括原点）的复平面内，主值支和其他各分支处处连续，处处可导．且但是第12页，共26页，星期日，2025年，2月5日三、乘幂与幂函数1.乘幂的定义（实数的幂）注意:故一般是无穷多值的第13页，共26页，星期日，2025年，2月5日第14页，共26页，星期日，2025年，2月5日2、幂函数定义两种特殊情况的讨论：单值解析函数第15页，共26页，星期日，2025年，2月5日例5解第16页，共26页，星期日，2025年，2月5日3.幂函数的解析性它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的。它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,第17页，共26页，星期日，2025年，2月5日四、三角函数和双曲函数1.三角函数的定义将两式相加与相减,得有关性质：欧拉公式的推广(1)(2)(3)正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.(4)第18页，共26页，星期日，2025年，2月5日有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式(5)第19页，共26页，星期日，2025年，2月5日