§6.1数列的概念
课标要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
1.数列的有关概念
概念
含义
数列
按照确定的顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
数列{an}的
前n项和
把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn=a1+a2+…+an
2.数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项
间的大
小关系
递增数列
an+1an
其中
n∈N*
递减数列
an+1an
常数列
an+1=an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an=f(n).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)数列1，2，3与3，2，1是两个不同的数列.(√)
(2)数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式只能是an=1+(?1)n
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.(×)
(4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点.(√)
2.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用小石子来研究数.如图中的数1，5，12，22，…称为五边形数，则第8个五边形数是.?
答案92
解析∵5-1=4，12-5=7，22-12=10，
∴相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3，
∴第5个五边形数是22+13=35，第6个五边形数是35+16=51，第7个五边形数是51+19=70，第8个五边形数是70+22=92.
3.已知数列{an}满足a1=1，an=n+an-1(n≥2，n∈N*)，则an=.?
答案n
解析数列{an}满足a1=1，an=n+an-1(n≥2，n∈N*)，
可得a1=1，
a2-a1=2，
a3-a2=3，
a4-a3=4，
…
an-an-1=n，
以上各式相加可得an=1+2+3+…+n=n(n+1)2(
又a1=1符合该式，所以an=n(
4.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2-4n+1，则an=.?
答案?2
解析当n=1时，a1=S1=-2；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-4n+1-[(n-1)2-4(n-1)+1]=2n-5.
因为当n=1时，不满足an=2n-5，
所以an=?2
1.灵活应用两个常用结论
(1)若数列{an}的前n项和为Sn，则an=S
(2)在数列{an}中，若an最大，则an≥an?1,an≥an+1;
2.掌握数列的函数性质
由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数，因此它具备函数的某些性质：
(1)单调性——若an+1an，则{an}为递增数列；若an+1an，则{an}为递减数列，否则为摆动数列或常数列(an+1=an).
(2)周期性——若an+k=an(k为非零常数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期.
题型一由an与Sn的关系求通项公式
例1(1)(2025·漳州模拟)已知各项均不为0的数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn=an+1，则a8
A.-12 B.-13 C.12
答案A
解析因为3Sn=an+1，则3Sn+1=an+1+1，
两式相减可得3an+1=an+1-an，
即2an+1=-an，
令n=7，可得2a8=-a7，
且an≠0，所以a8a7
(2)已知数列{an}满足nΣk=1ak2
A.2025 B.2024 C.4049 D.4050
答案C
解析由题意可得a1+a23+a35+…+an2
当n=1时，a1=2；
当n≥2时，a1+a23+a35+…+an
①②两式相减得an2n?1=1，即a
又a1=2不满足an=2n-1，
综上所述，an=2
所以a2025=4049.
思维升华an与Sn的关系问题的求解思路
(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn，Sn-1的关系式，再求解.
(2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解.
跟踪训练1(1)(多选)已知数列{an}的前n项和Sn=12(3n
A.a1=1
B.数列{an}为递增数列
C.