行列式概念与性质
本章的主要内容
§3.1行列式的概念
§3.2行列式值的和性质、记算
§3.3若干应用(逆阵公式、克拉默法则等)
重点内容行列式的计算
§3.1行列式的概念和性质
1、概念
2、性质
常把上述表达式称为A的行列式(determinant),记作detA
或用大写字母D表示，而把相联系的那个数称为行列式的值.
今后，称上述具有n行n列的表达式为n阶行列式.
一、概念
对任一n阶矩阵
表示一个与A相联系的数，
用式子
把删去第i行及第j列后所得的(n-1)阶子矩阵称为对应于元
a;的余子矩阵，并以S;记之.
定义一阶矩阵[a?]的行列式之值定义为数a?,即
对n=2,3,…,用以下公式递归地定义n阶行列式之值：
定义对一n阶矩阵
例设
计算该行列式的值
a11
解因有S??=[a?2],S??=[a?1],故
℃21
a12
a22
=a??(-1)1+1detS+a??(-11+2detS??
=a11a22-a12a21
十
=(8+21+34-9)+7(14+12)=196
≤计算detA的值.
例设
=a11a22a33-a11a23a32+a?2a23a31-a?2a21a33
+a13a21a32-a?3a22a31
若写出计算3阶行列式值的公式为
-a13a22a31-a?2a21a33-a?1a23a?2
说明三阶行列式包括3!项，每一项都是位于不同行，不同列
的三个元素的乘积，其中三项为正，三项为负.
结论n阶行列式的值是n!个不同项的代数和，其中的每
一项都是处于行列式不同行又不同列的n个元之乘积.
以下表的形式记3阶行列式值的计算公式
=a11a22a33+a??a?3a?1+a?3a21a?2
定义对n阶行列式detA,称detS;为元a;的余子式
称A,=(-1)?detS,为元a,的代数余子式.
例如
A??=(-1)2+3detS??=-detS??
a11a12a13
detSu=Mu=a21
|a?1
A??=(-1)??M?=M?
a23
a?3|
a22
a?2
注行列式的每个元素都分别对应一个余子式和一个
代数余子式.
根据该定义，可重新表达行列式的值
定理1行列式与它的转置行列式相等.
detA=detAT
说明行列式中行与列具有同等的地位，因此行列式的性质
凡是对行成立的对列也同样成立.行列式的值
定理对n阶矩阵A,有detA=ak?AkT1列
展开计算
也可按第
2、性质
推论若行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零.
定理3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式.
定理2互换行列式的两行(列),行列式值反号.
例如
思考请问若给n阶行列式的每一个元素都乘以同
一数k,等于用乘以此行列式.
推论1对n阶行列式A,有detaA=(a)detA
推论2行列式中若有两行(列)元素成比例，则此行列式为零.
证
推论3一行(或列)元素全为0的行列式值等于零.
定理4若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和
则D等于下列两个行列式之和
例如
a11a1ia?ja1n
例如a21a2ik×a2ja?n
an1anianja
a?1(a?+ka?;)a?jan
+e,“(a?i+ka?;)a2ja?
a(am+kan;)anjann
推论把行列式的某一列(行)元素的k倍加到另一列
(行)对应的元素上去，行列式的值不变.
行列式等值变形法则
nn
定理行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素
的代数余子式乘积之和等于零，即
ak1A:1+ak2A;2++akKnAin=0,k≠i.
或表达为(i=1,…,n)
若行列式按列展开，有行列式的展开定理
定理行列式等于它的