高考数学常考题型归纳
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【导数基础大题解题策略】
总览
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题型梳理
题型
题型分类
知识讲解与常考题型
【解题策略1：端点效应】
知识讲解
知识讲解
1.“端点代入，先看特殊”：先将区间端点代入函数或不等式，观察特殊值的情况，初步判断是否满足条件。
2.“端点分析，确定范围”：分析端点处的函数值或极限值，确定参数可能的取值范围。
3.“若有可行，再证一般”：如果端点处的情况满足要求，再进一步证明在整个区间上都满足条件。
4.“左右极限，辅助判断”：考虑端点处的左右极限，辅助分析函数在端点附近的行为。
5.“分类讨论，灵活运用”：根据不同的端点情况和函数特点，进行分类讨论，灵活运用端点效应。
6.“结合导数，深入分析”：结合导数来研究函数在端点附近的单调性和变化趋势，更深入地分析问题。
例题精选
例题精选
【例题1】（浙江省91联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题）已知，.
(1)令，讨论的单调性和极值；
(2)若时，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数的单调性及极值情况；
（2）变形得到，在时恒成立，令，求导，由于，故，所以，下面证明时，恒成立，放缩得，令，；求导，得到其单调性，，证明出结论.
【详解】（1），定义域为，
，；
①时，恒成立，在上单调递增，没有极值；
②时，令，则，；解得，
令，则，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
故极大值为，无极小值；
（2），恒成立；即，在时恒成立；
令，；
∵，∴即，；
下面证明：时，恒成立.
∵；
令，；
；
∴在单调递减；
又∵，∴；
∴恒成立，证毕.
所以的取值范围为.
【例题2】（湖南省三新/H11/G10教育联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题）设函数，.
(1)试判断函数在区间上是否存在极值点，并说明理由；
(2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)存在极大值点，无极小值点，理由见解析
(2)
【分析】（1）先求出导函数，得出函数单调性结合零点存在定理判断导数零点即可得出极值点；
（2）先求出导函数，构造函数分和及分类讨论得出单调性即可求参.
【详解】（1），
令，则，则，恒小于0，单调递减，
且，，∴，，
，，单调递增，，，单调递减，故函数存在极大值点，无极小值点.
（2），则.
又令，，
①当，即时，恒成立，∴在区间上单调递增，
∴，∴，∴在区间上单调递增，
∴（不合题意）；
②当，即时，，∴在区间上单调递减，
∴，∴，∴在区间上单调递减，
∴（符合题意）；
③当，即时，由，，
∴，使，且时，，，
，
∴在上单调递增，∴（不符合题意）；
综上，的取值范围是.
【例题3】（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
【答案】(1)极小值为，无极大值.
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.
（2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
故，
因为在上为增函数，
故在上为增函数，而，
故当时，，当时，，
故在处取极小值且极小值为，无极大值.
（2），
设，
则，
当时，，故在上为增函数，
故，即，
所以在上为增函数，故.
当时，当时，，
故在上为减函数，故在上，
即在上即为减函数，
故在上，不合题意，舍.
当，此时在上恒成立，
同理可得在上恒成立，不合题意，舍；
综上，.
【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.
相似练习
相似练习
【相似题1】（2024·广东江苏·高考真题）已知函数
(1)若，且，求的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若当且仅当，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求出后根据可求的最小值；
（2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性；
（3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得.
【详解】（1）时，，其中，
则，
因为，当且仅当时等号成立，
故，而成立，故即，
所以的最小值为.，
（2）的定义域为，
设为图象上任意一点，
关于的对称点为，
因为在图象上，故，
而，
，
所以也在图象上，
由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为.
（3）因为当且仅当，故为的一个解，
所以即，
先考虑时，恒成立.
此时即为在上恒成立，
设，则在上恒成立，
设，
则，
当，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在