高考数学常考题型归纳
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【导数基础大题解题策略】
总览
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题型梳理
题型
题型分类
知识讲解与常考题型
【解题策略1：端点效应】
知识讲解
知识讲解
1.“端点代入，先看特殊”：先将区间端点代入函数或不等式，观察特殊值的情况，初步判断是否满足条件。
2.“端点分析，确定范围”：分析端点处的函数值或极限值，确定参数可能的取值范围。
3.“若有可行，再证一般”：如果端点处的情况满足要求，再进一步证明在整个区间上都满足条件。
4.“左右极限，辅助判断”：考虑端点处的左右极限，辅助分析函数在端点附近的行为。
5.“分类讨论，灵活运用”：根据不同的端点情况和函数特点，进行分类讨论，灵活运用端点效应。
6.“结合导数，深入分析”：结合导数来研究函数在端点附近的单调性和变化趋势，更深入地分析问题。
例题精选
例题精选
【例题1】（浙江省91联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题）已知，.
(1)令，讨论的单调性和极值；
(2)若时，不等式恒成立，求的取值范围.
【例题2】（湖南省三新/H11/G10教育联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题）设函数，.
(1)试判断函数在区间上是否存在极值点，并说明理由；
(2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【例题3】（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
相似练习
相似练习
【相似题1】（2024·广东江苏·高考真题）已知函数
(1)若，且，求的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若当且仅当，求的取值范围．
【相似题2】（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
【相似题3】（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
【解题策略2：隐零点】
知识讲解
知识讲解
1.函数求导，寻找零点：对函数进行求导，通过导数研究函数的单调性，进而寻找可能存在的零点。
2.隐零点设，代换化简：当零点不易直接求出时，设出隐零点，将其代入到原函数或导数中进行代换化简，利用隐零点满足的方程来简化问题。
3.范围确定，性质分析：确定隐零点所在的区间范围，根据函数在该区间的单调性等性质，分析函数的最值、极值等情况。
4.整体代换，避免求解：尽量通过整体代换的方式，利用隐零点的性质来解决问题，避免直接求解隐零点的具体值。
5.极限思想，辅助判断：结合极限思想，分析函数在端点或无穷远处的趋势，辅助对函数性质的判断和问题的解决。
6.二次求导，深度探究：如果一次求导无法充分解决问题，可以考虑二次求导，进一步探究函数的单调性和极值情况，为处理隐零点问题提供更多信息
例题精选
例题精选
【例题1】（24-25高二下·甘肃酒泉·期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)已知在上的最小值为2，求的值；
(3)若，且，求的取值范围．
【例题2】（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数．
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)讨论的单调性；
(3)当时，设，证明：在上存在唯一的极小值点，且．(参考数据：)
【例题3】（24-25高二下·重庆·期中）已知．
(1)若有且只有一个极值点，求的取值范围；
(2)当时，若函数的极值点为，求证：．
相似练习
相似练习
【相似题1】（2025·安徽·模拟预测）已知曲线在点处切线方程为，其中为常数．
(1)①求的值；②证明：只有一个零点．
(2)若函数，且存在正实数，使得成立，求实数的取值范围．
【相似题2】（2025高二·全国·专题练习）已知函数，若，且对任意恒
【相似题3】（2025·安徽芜湖·二模）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)设，证明：.
【解题策略3：指对同构】
知识讲解
知识讲解
1.观察结构，寻找同构：仔细观察函数表达式，尝试找出指数函数与对数函数之间的结构特征，看是否能通过变形转化为同一种形式，常见的同构形式有与，与等。
2.适当变形，构造同构：根据观察到的结构特点，对函数进行适当的变形，如通过乘除、加减、取对数等运算，构造出同构的形式。例如，对于的形式，可能需要将含有对数的式子通过变形转化为的形式，以便进行同构。
3.利用同构，简化问题：构造出同构形式后，利用同构函数的性质来简化问题。通常可以将原函数转化为一个更简单的同构函数，通过研究同构函数的单调性、极值等性质，来解决原函数的相关问题。
4.结合导数，分析性质：对同构后的函数求导，利用导数来分析函数的单调性、极值点等性质。根据导数的正负确定函数的单调区间，找到极值点，进而确定函数的最值情况或函