微积分诞生以后，数学迎来了一次空前的繁荣时期。18世纪被称为数学史上的英雄世纪。数学家们把微积分应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域，获得了丰硕的成果；在数学本身，他们把微积分作为工具，又发展出微分方程、微分几何、无穷级数等理论分支，大大扩展了数学研究的范围。第19页，共32页，星期日，2025年，2月5日4.微积分的严格化微积分建立以后，出现了两个极不协调的情景：一方面是微积分广泛应用于各个领域，取得了辉煌的成就；另一方面是人们对于微积分基本概念的合理性提出了强烈的质疑。19世纪以前，无穷小量概念始终缺少一个严格的数学定义，因此导致了相当严重的混乱。特别地，1734年英国哲学家、红衣主教贝克莱对微积分基础的可靠性提出的强烈质疑，引发了第二次数学危机。微积分的严格化势在必行。第20页，共32页，星期日，2025年，2月5日法国数学家达朗贝尔用极限方法取代无穷小量方法；法国数学家柯西在达朗贝尔通俗的极限基础上，从变量和函数角度出发给出极限的动态定义，从而把微积分的基础严格地奠定在极限概念之上。德国数学家魏尔斯特拉斯则用静态的ε-δ语言来刻画柯西动态的极限概念，使极限的定义达到了最清晰最严密的程度，直到如今人们仍然在使用他的定义。极限理论的建立第21页，共32页，星期日，2025年，2月5日由于严格的极限理论的建立，无穷小量可用极限的语言清楚地加以描述，至此才解决了有关的逻辑困难。而且由于ε?δ语言的建立，微积分的发展如虎添翼。第22页，共32页，星期日，2025年，2月5日实数理论魏尔斯特拉斯的无限十进小数表示法戴德金分割康托尔的柯西列方法第一次数学危机之无理数的解决方案实数的完备性确界存在定理---单调有界定理----区间套定理------有限覆盖定理----聚点定理-----柯西收敛准则第23页，共32页，星期日，2025年，2月5日从以上介绍，可以知道微积分发展的历史轨迹是积分学—微分学—微积分学—极限理论—实数理论但从数学分析课程来看，它的理论体系应该是：实数理论—极限理论—微分学—积分学—微积分学第24页，共32页，星期日，2025年，2月5日5.牛顿与莱布尼茨之争莱布尼茨发表第一篇微积分论文的时间是1684年，比牛顿早三年(牛顿的《自然哲学之数学原理》出版于1687年)，但牛顿早在六十年代就发明了微积分，而莱布尼茨曾于1673年访问过伦敦，并和牛顿及一些知道牛顿工作的人通过信．于是就发生了莱布尼茨是否独立取得微积分成果的问题．第25页，共32页，星期日，2025年，2月5日1684年莱布尼兹发表了他的微积分的论文。3年后，牛顿在1687年出版的《原理》书的初版中对莱布尼兹的贡献表示认同，但是却说：“和我的几乎没什么不同，只不过表达的用字和符号不一样。”第26页，共32页，星期日，2025年，2月5日牛顿的流数理论到莱布尼兹发表论文二十年后，即1704年作为他的著作《光学》的附录中正式发表，附录的序言中，牛顿提到他1676年给莱布尼兹的信，并补充说︰“若干年前我曾出借过一份包含这些定理(微积分)的原稿，之後就见到一些从那篇当中抄出来的东西，所以我现在公开发表这份原稿。”这话的意思就暗指他的手稿曾经被莱布尼兹看到过，而莱布尼兹的论文就是从他的手稿中抄来的。第27页，共32页，星期日，2025年，2月5日1711年3月4日，伦敦皇家学会的秘书斯洛（HansSloane）收到莱布尼兹寄来的一封信，信中抱怨其成员开尔（JohnKeill）指责莱布尼兹把牛顿的微积分改变了少量的符号，伪装为自己的原创发表，并且声明这不是事实，要求学会给以公正的裁决。第28页，共32页，星期日，2025年，2月5日据说这一状告正好告到了牛顿手上。后来，由于牛顿的导演和亲自出马、匿名运作，形成势不两立的两派。以英国为一派包括英国著名数学家泰勒和麦克劳林都认为莱布尼兹是抄袭者。另一派是欧洲大陆的数学家，包括著名数学家约翰·伯努利等为一派认为牛顿是抄袭者。争论双方停止学了术交流，不仅影响了数学的正常发展，也波及整个自然科学领域，以致发展到英德两国之间的政治摩擦。第29页，共32页，星期日，2025年，2月5日这场由牛顿导演捍卫牛顿的战斗，使英国人吃了大亏，一百年多年间在数学上大大落后于欧洲。而莱布尼兹生命中的最后７年则在这场大争论中痛苦地度过的。总之，两个人都很受伤！第30页，共32页，星期日，20