训练9导数的概念与运算、导数与函数的单调性[分值：65分]
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.函数y＝12x2－lnx的单调递减区间为(
A.(0，e) B.(0，1)
C.[1，＋∞) D.(0，＋∞)
答案B
解析由题意知，x0，y＝x－1x
令y0，得0x1，
所以其单调递减区间为(0，1).
2.已知f(x)为函数f(x)＝ax－blnx的导函数，且满足f(1)＝0，f(3)＝2，则f(2)等于()
A.1 B.－43 C.32
答案C
解析由f(x)＝a－bx
得f(1)＝a－b＝0，f(3)＝a－b3＝2
解得a＝b＝3，则f(x)＝3－3x，所以f(2)＝3
3.(2024·茂名模拟)若曲线y＝f(x)＝x2＋ax＋b在点(1，f(1))处的切线为3x－y－2＝0，则有()
A.a＝－1，b＝1 B.a＝1，b＝－1
C.a＝－2，b＝1 D.a＝2，b＝－1
答案B
解析将x＝1代入3x－y－2＝0得y＝1，
则f(1)＝1，
则1＋a＋b＝1，①
∵f(x)＝x2＋ax＋b，
∴f(x)＝2x＋a，则f(1)＝3，即2＋a＝3，②
联立①②，解得a＝1，b＝－1.
4.(2024·武汉模拟)若函数f(x)＝lnx＋ax2－2，x∈12，2存在单调递增区间，则实数a的取值范围是
A.(－2，＋∞) B.-
C.-2，-18 D.[－2
答案A
解析易知f(x)的定义域为12
f(x)＝1x＋2ax
若f(x)存在单调递增区间，
则f(x)0在12
故a－12x2
令g(x)＝－12
而g(x)＝－12x2
g(x)g12＝－2，故a－
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.已知函数f(x)＝163x3＋1x，则(
A.f(x)在-12
B.f(x)在-12，0
C.f(x)的单调递增区间为-∞，
D.f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是单调递增
答案BCD
解析f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
f(x)＝163x3＋1x
＝(4
＝(2x
令f(x)0，得x－12或x1
所以f(x)的单调递增区间为-∞，-
f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，
令f(x)0，得－12x0或0x1
所以f(x)在-12，0和
6.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f(x))，若f″(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数，以下四个函数在0，π2上是凸函数的是
A.f(x)＝sinx－cosx
B.f(x)＝lnx－3x
C.f(x)＝－x3＋3x－1
D.f(x)＝xe－x
答案BCD
解析对于A，f(x)＝cosx＋sinx，
f″(x)＝－sinx＋cosx＝－2sinx-
当x∈0，π4时，sin
f″(x)＝－2sinx-π40
对于B，f(x)＝1x－3，f″(x)＝－1x20在0
对于C，f(x)＝－3x2＋3，f″(x)＝－6x0在0，π2
对于D，f(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，f″(x)＝－e－x－(1－x)e－x＝－(2－x)e－x，
因为x∈0，π2，所以2－
所以f″(x)＝－(2－x)e－x0在0，π2上恒成立，故
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.若函数f(x)＝ax＋ex在(－∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围是.?
答案(－∞，－e]
解析由题意知，
f(x)＝a＋ex≤0在(－∞，1]上恒成立，
得a≤(-e
又函数y＝－ex在(－∞，1]上单调递减，
所以(-ex)min＝－e，所以
8．(2024·南阳模拟)已知曲线y＝ex－1与曲线y＝f(x)关于直线x－y＝0对称，则与两曲线均相切的直线的方程为______________．
答案x－y＝0
解析设曲线y＝ex－1上任一点的坐标为(x，y)，满足y＝ex－1，
则该点关于直线x－y＝0的对称点坐标为(y，x)，得x＝ey－1，整理可得y＝ln(x＋1)，
设曲线y＝ex－1上的切点为(x1，－1)，曲线y＝ln(x＋1)上的切点为(x2，ln(x2＋1))，
又y＝ex－1的导函数为y′＝ex，
y＝ln(x＋1)的导函数为y′＝eq\f(1,x＋1)，
则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(＝\f(1,x2＋1)，,?x2－x1?＝ln?x2＋1?－?－1?，))
两式整理得x1＝－(x2＋1)ln(x2＋1)，
所以＝eq\f(1,x2＋1)，
即＝(x2＋1)－1，
解得x2＝0，所以x1＝0.
所以曲线y＝ex－1与曲线y＝ln(x＋1)的公切线的公切