训练11导数的综合问题[分值：65分]
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.已知函数f(x)＝2ex与g(x)＝2x＋2，则它们的图象的交点个数为()
A.0 B.1
C.2 D.不能确定
答案B
解析令h(x)＝2ex－2x－2，则h(x)＝2ex－2＝2(ex－1)，
由h(x)＝0，得x＝0，
∴当x0时，h(x)0；当x0时，h(x)0.
∴当x＝0时，h(x)取得极小值，也是最小值h(0)＝0，
∴h(x)＝2ex－2x－2只有一个零点，
即f(x)与g(x)的图象只有1个交点.
2.(2025·黄石调研)已知a＝4ln5π，b＝5ln4π，c＝5lnπ4，则a，b，c的大小关系是()
A.abc B.bca
C.bac D.cba
答案A
解析令f(x)＝lnxx(x≥e)，可得f(x)＝
当x≥e时，f(x)≤0恒成立，
所以f(x)＝lnxx在(e，＋∞
所以f(π)f(4)f(5)，
即lnππln44ln55，可得4lnππln4，5ln44ln
所以lnπ4ln4π，5πln44πln5，
所以5lnπ45ln4π，5ln4π4ln5π，
即cb，ba，所以abc.
3.某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是0.1πr4分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径.已知每出售1mL的液体材料，制造商可获利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为8cm，则当每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为()
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
答案A
解析依题意知，每瓶液体材料的利润f(r)＝0.3×43πr3－0.1πr4＝0.1π(4r3－r4)，0r≤8
则f(r)＝0.4πr2(3－r)，
令f(r)＝0，得r＝3，
当r∈(0，3)时，f(r)0，
当r∈(3，8]时，f(r)0，
因此函数f(r)在(0，3)上单调递增，在(3，8]上单调递减，即当r＝3时，f(r)取最大值，
所以当每瓶液体材料的利润最大时，r＝3.
4.(2024·萍乡模拟)若ex＋2t≥lnx－2t对一切正实数x恒成立，则实数t的取值范围是()
A.-∞，
C.-12，＋∞ D.(
答案C
解析由ex＋2t≥lnx－2t可得ex＋2t＋x＋2t≥lnx＋x＝elnx＋lnx，
构造函数f(x)＝ex＋x，其在(－∞，＋∞)上单调递增，
∴f(x＋2t)≥f(lnx)，
∴x＋2t≥lnx，即x－lnx＋2t≥0，
令g(x)＝x－lnx＋2t，g(x)＝1－1x
易知g(x)＝x－lnx＋2t在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴g(1)≥0，即1＋2t≥0，
∴t的取值范围是-1
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f(x)，且(x＋1)f(x)－f(x)x2＋2x对x∈(0，＋∞)恒成立.下列结论正确的是()
A.2f(2)－3f(1)5
B.若f(1)＝2，x1，则f(x)x2＋12x＋
C.f(3)－2f(1)7
D.若f(1)＝2，0x1，则f(x)x2＋12x＋
答案CD
解析设函数g(x)＝f(
则g(x)＝[f
＝(x
因为在(0，＋∞)上，
(x＋1)f(x)－f(x)x2＋2x，
所以g(x)0；
则g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
从而g(1)g(2)g(3)，
整理得2f(2)－3f(1)5，f(3)－2f(1)7；
所以A错误，C正确；
当0x1时，若f(1)＝2，因为g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以当0x1时，g(x)g(1)＝12
即f(x)-
即f(x)x2＋12x＋1
所以D正确，则B错误.
6.(2025·菏泽模拟)对于函数f(x)＝lnxx2，下列说法正确的是
A.f(x)在x＝e处取得极大值1
B.f(x)有两个不同的零点
C.f22f(π)f(3
D.若f(x)k－1x2在(0，＋∞)上恒成立，则k
答案ACD
解析对于选项A，函数定义域为(0，＋∞)，f(x)＝1-2lnxx3，令f(x)0，可得0x
令f(x)0，可得xe，所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
所以f(x)在x＝e处取得极大值f(e)＝12e，故选项A
对于选项B，令f(x)＝lnxx2＝0，可得x
又当x→0时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→0，因此f(x)只有一个零点，故选项B不正确；
对于选项C，显然e3π，f(x)在(e，＋∞)上单调递减，
可得f(3)f(π)＝lnππ
因为f22＝2ln22
即f22f(π)f(3)，故选项C
对于选项D，由题意知，kf