§2.11函数的零点与方程的解
课标要求1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解.
1.函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)=0有实数解?函数y=f(x)有零点?函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
(3)函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解.
2.二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(×)
(2)连续函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)0.(×)
(3)连续函数y=f(x)满足f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)上没有零点.(×)
(4)求函数零点的近似值都可以用二分法.(×)
2.下列函数图象与x轴均有交点，则不能用二分法求图中函数零点近似值的是()
答案C
解析根据函数零点存在定理可知，函数f(x)的图象是一段连续不断的曲线，若在区间[a，b]上满足f(a)f(b)0，则函数f(x)在区间(a，b)上存在零点；根据二分法概念可知，C选项中的图象在零点附近不满足f(a)f(b)0，所以C选项不能用二分法求图中函数零点近似值.
3.函数f(x)=lnx-1x的零点所在的大致区间是(
A.1e，1 B.(1
C.(2，e) D.(2，3)
答案B
解析f(x)=lnx-1x的定义域为(0，+∞
又y=lnx与y=-1x在(0，+∞
所以f(x)=lnx-1x在(0，+∞
又f(1)=-10，f(2)=ln2-120
所以f(1)f(2)0，
根据函数零点存在定理可得函数f(x)=lnx-1x的零点所在的大致区间为(1，2)
4.设f(x)=|x2-2x|，则函数y=f(x)-2024的所有零点之和为.?
答案2
解析由一元二次函数的图象和性质可知函数f(x)=|x2-2x|的图象如图所示，
根据图象可知y=f(x)-2024共有2个零点，且2个零点关于直线x=1对称，
所以零点之和为2.
1.谨记三个相关性质
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)=0的实数解.
(2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.
2.谨防两个易错易混
(1)若连续函数f(x)在区间[a，b]上满足f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)上至少有一个零点，反之不一定.
(2)已知二次函数的零点求参数时，不要忽略对二次项系数的讨论.
题型一函数零点所在区间的判定
例1(1)(2025·南昌统考)已知函数f(x)=lnx+x-2x，则f(x)的零点所在的区间为(
A.12，1 B.(1，2) C.(2，e) D.(e
答案B
解析显然函数f(x)=lnx+x-2x在(0，+∞
又f(1)=ln1+1-2=-10，f(2)=ln2+2-1=ln2+10，
所以f(1)·f(2)0，所以零点所在的区间为(1，2).
(2)在用二分法求方程x2=3的正实数根的近似值(精确度为0.001)时，若我们选取的初始区间是[1.7，1.8]，为达到精确度要求至少需要计算的次数是.?
答案7
解析设至少需要计算n次，则n满足1.8?1.72n0.001，即2n100，由于26=64，27=128，故要达到精确度要求至少需要计算7
思维升华确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)0，若有，则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
跟踪训练1(1)函数f(x)=x12-2-x-1的零点所在的区间是(
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)
答案B
解析函数f(x)=x12-2-x-1的