§2.6二次函数与幂函数
课标要求1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.?
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α0时，幂函数的图象都过点和，且在(0，＋∞)上单调递增；?
③当α0时，幂函数的图象都过点，且在(0，＋∞)上单调递减；?
④当α为奇数时，y＝xα为；当α为偶数时，y＝xα为.?
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝.?
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为.?
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的.?
(2)二次函数的图象和性质
函数
y=ax2+bx+c(a0)
y=ax2+bx+c(a0)
图象(抛物线)
定义域
值域
对称轴
x=______________
顶点坐标
奇偶性
当b=0时是函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在-∞，-b
在-b2a
在-∞，-b
在-b2a
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝12x12是幂函数
(2)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a0且Δ0.()
(3)二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞).()
(4)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数.()
2.(2025·唐山模拟)已知幂函数f(x)的图象经过点(2，2)，则f(4)等于()
A.2 B.2
C.16 D.±2
3.函数f(x)＝2x2－x－1(－1≤x≤1)的值域是()
A.[0，1] B.-
C.[1，2] D.-
4.已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，则实数a的取值范围是.?
1.幂函数的性质
(1)当α0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.
(2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限.
(3)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1，1)，(0，0)，(－1，1)，(－1，－1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点.
2.谨防三个易误点
(1)幂函数f(x)＝xmn(m，n互质)，当m为偶数时，函数为偶函数；当m为奇数，
(2)二次函数在区间单调，求参数取值范围时等号的处理；
(3)含有参数的二次函数定轴动区间和动轴定区间问题的讨论.
题型一幂函数的图象与性质
例1(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±12四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(
A.－2，－12，12，2 B.2，12，－1
C.－12，－2，2，12 D.2，12，－2
(2)已知幂函数f(x)＝(3m2＋m－1)xm为偶函数，且a＝f(－2)，b＝f(e)，c＝f(1)，则()
A.bca B.cba
C.abc D.cab
思维升华(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α0，0α1，α＝1，α1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
跟踪训练1(1)幂函数f(x)＝(m2－m－1)·xm2＋m-3在(0，＋∞)上单调递减，则实数
A.2或－1 B.－1
C.2 D.－2或－1
(2)(多选)已知函数f(x)＝xα(α为常数)，则下列说法正确的是()
A.函数f(x)的图象恒过定点(1，1)
B.当α＝－1时，函数f(x)是减函数
C.当α＝3时，函数f(x)是奇函数
D.当α＝12时，函数f(x)的值域为(0，＋∞
题型二二次函数的解析式
例2已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.
思维升华求二次函数解析式的三个策略
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式.
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式.
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式.
跟踪训练2已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)