§6.2等差数列
课标要求1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元函数的关系.
1.等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an-an-1=d(常数)(n≥2，n∈N*).
(2)等差中项
由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A=a+b.
2.等差数列的有关公式
(1)通项公式：an=a1+(n-1)d.
(2)前n项和公式：Sn=na1+n(n?1)2d或S
3.等差数列的常用性质
(1)若{an}为等差数列，且p+q=s+t，则ap+aq=as+at(p，q，s，t∈N*).
(2)等差数列{an}的单调性
当d0时，{an}是递增数列；
当d0时，{an}是递减数列；
当d=0时，{an}是常数列.
4.等差数列前n项和的常用性质
(1)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn=d2n2+a1?d
(2)在等差数列{an}中，若a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(×)
(2)等差数列{an}中，a10=a1+a9.(×)
(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S6，S12，S18也成等差数列.(×)
(4)若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an+1=an+an+2.(√)
2.(2024·沈阳模拟)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，a3+a7=8，则S17等于()
A.51 B.102 C.119 D.238
答案B
解析在等差数列{an}中，a1=2，a3+a7=2a5=8，即a5=4，
所以d=a5?a
则S17=17×2+17×162
3.数列{an}的前n项和Sn=n2+3n+m(m为常数)，则“m=0”是“数列{an}是等差数列”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
答案D
解析当m=0时，Sn=n2+3n，则a1=S1=4，
an=Sn-Sn-1=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n+2(n≥2)，a1=4也满足an=2n+2，
所以an-an-1=2(n≥2)，故数列{an}为等差数列；
由数列{an}为等差数列，a1=S1=4+m，满足an=2n+2(n≥2)，
故4+m=4，所以m=0，
综上可知，“m=0”是“数列{an}是等差数列”的充要条件.
4.(2024·重庆模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=4，S9=63，则a8=.?
答案10
解析因为a2=4，S9=63，
所以S9=9(a1+a
即9(4+a8)2=63
掌握等差数列的常用性质
(1)若数列{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.
(2)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差数列.
(3)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sn
(4)数列{an}是等差数列?Sn=An2+Bn(A，B为常数).
题型一等差数列基本量的运算
例1(1)(2024·汕头模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S2=4，若Sn+an+1=100，则
A.8 B.9 C.10 D.11
答案B
解析设数列{an}的公差为d，由a3=5，S2=4，得a
解得a
于是an=2n-1，Sn=1+2n?12·n=
由Sn+an+1=100，得n2+2n+1=100，又n∈N
所以n=9.
(2)(2024·沈阳模拟)我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传.”说的是，有996斤棉花要赠送给八个子女做旅费，从第一个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.根据这些信息第三个孩子分得的棉花斤数为()
A.99 B.116 C.133 D.150
答案A
解析依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，
设该等差数列为{an}，公差为d，前n项和为Sn，第一个孩子所得棉花斤数为a1，
则由题意得d=17，S8=8a1