§6.4数列中的构造问题
重点解读数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式.
题型一待定系数法
命题点1an+1=pan+q(p≠0，1；q≠0)
例1已知数列{an}中，a1=5且an+1=4an+6，则an=.?
答案7×4n-1-2
解析因为an+1=4an+6，
所以an+1+2=4an+8=4(an+2)，
又因为a1+2=5+2=7≠0，
所以an+1
所以数列{an+2}是以7为首项，4为公比的等比数列，所以an+2=7×4n-1?an=7×4n-1-2.
命题点2an+1=pan+qn+c(p≠0，1；q≠0)
例2已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an-n+1，Sn为数列{an}的前n项和，则S8=.?
答案291
解析设an+1+λ(n+1)+u=2(an+λn+u)，
所以an+1=2an+λn+u-λ，
又an+1=2an-n+1，
所以λ=?1,u
所以an+1-(n+1)=2(an-n)，
又a1-1=1，因此数列{an-n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
故an-n=2n-1，因此an=n+2n-1，
所以S8=(1+2+…+8)+(20+21+…+27)=8×(1+8)2
命题点3an+1=pan+qn(p≠0，1；q≠0，1)
例3(2024·衡阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an+1-2n+1，a1=2，则an=.?
答案(n+1)2n-1
解析因为Sn=an+1-2n+1，
Sn-1=an-2n(n≥2)，
两式相减得Sn-Sn-1=(an+1-2n+1)-(an-2n)，
即an+1=2an+2n.
两边同除以2n+1可得an+12n+1-an2
又S1=a2-22=2，得a2=6，满足a222-a
所以数列an2n是首项为a12=1，公差为12的等差数列，故
即an=(n+1)2n-1.
思维升华
形式
构造方法
an+1=pan+q
引入参数c，构造新的等比数列{an-c}
an+1=pan+qn+c
引入参数x，y，构造新的等比数列{an+xn+y}
an+1=pan+qn
两边同除以qn+1，构造新的数列a
跟踪训练1(多选)已知数列{an}，下列结论正确的有()
A.若a1=2，2(n+1)an-nan+1=0，则an=n·2n
B.在数列{an}中，a1=1，且an=2an-1+3(n≥2，且n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an=2n+1-3
C.若a1=2，an=13an-1+13n(n≥
D.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n-1，则数列{an}的通项公式为an=2n-n+1
答案AB
解析∵2(n+1)an-nan+1=0，
∴an+1n
∴ann是首项为a11
∴ann=2·2n-1，∴an=n·2n，故
由an=2an-1+3(n≥2)，得an+3=2(an-1+3)，
即an+3
又a1+3=1+3=4，
∴数列{an+3}是首项为4，公比为2的等比数列，
∴an+3=4×2n-1，即an=2n+1-3，
∴数列{an}的通项公式为an=2n+1-3，故B正确；
根据题意，an=13an-1+
?an13n-an?1
又a113=6，∴an13n
设an+1+k(n+1)+b=2(an+kn+b)，
∴an+1=2an+kn+b-k，
由an+1=2an+n-1，
得k=1,b
∴an+1
即{an+n}是首项为a1+1=2，公比为2的等比数列.
∴an+n=2×2n-1=2n，故an=2n-n，故D错误.
题型二取倒数法和取对数法
命题点1取倒数法
例4已知数列{an}中，a1=1，an+1=anan+3(n∈N*)，则an
答案2
解析因为an+1=anan+3(n
所以1an+1=
设1an+1+t
所以3t-t=1，解得t=12
所以1an+1+1
又1a1+12=1+1
所以数列1an+12是以32为首项，3为公比的等比数列，所以1an+12
所以an=23
命题点2取对数法
例5(2025·岳阳模拟)已知数列{an}满足a1=10，an+1=10an2，则an=
答案10
解析由an+1=10an2可得an
lgan+1=lg(10an2)=2lgan
故lgan+1+1=2(lgan+1)，
又lga1+1=2，故数列{lgan+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
则lgan+1=2n，故an=102
思维升华(1)形如an+1=tansan+r的递推公式，两边同时取倒数转化为1an+1=rt·1an+st的形式，化