§6.6数列求和(二)
课标要求掌握错位相减法求和、裂项相消法求和等几种常见的求和方法.
1.错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.
2.裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
常见的裂项技巧
①1n(n+1)=
②1n(n
③1(2n?1)(2
④1n+n+1=
⑤1n(n
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当n≥2时，1n2?1=1n?1-1n
(2)已知等差数列{an}的公差为d，则有1anan+1=1d
(3)通项是等差数列乘以等比数列的求和利用错位相减法，即把和的等式两边同乘以等比数列的公比得到一个新的等式，再把两式相减即可求和.(√)
(4)若Sn=a+2a2+3a3+…+nan，只要把等号两边同时乘a即可根据错位相减法求得Sn.(×)
2.化简式子11×3+13×5+
A.20222025 B.20242025 C.10112025
答案D
解析11×3+13×5
=121?13+121
=121?1
3.(2024·苏州统考)已知Sn是数列{an}的前n项和，an=1n+n+1，若S
A.77 B.78 C.79 D.80
答案D
解析依题意，an=1n+n+1=
所以Sn=2-1+3-2+…+n+1-n=n+1
由Sn=n+1-1=8，解得n
4.Sn=12+24+38+…
A.2n?n
C.2n?n
答案B
解析由Sn=12+222+323+…
得12Sn=122+223+…+n
①-②得12Sn=12+122+123+…+12n-n2
∴Sn=2n
谨防两个易误点
(1)裂项时注意是否还有系数及是否前后相邻的项相消.
(2)错位相减后构造的等比数列的项数是否是n项.
题型一裂项相消法求和
例1(2024·菏泽模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=log2a2n-1，cn=1bnbn+1，记{cn}的前n项和为Tn，求证：13
(1)解由Sn=2an-2，①
当n=1时，S1=2a1-2=a1，解得a1=2，
当n≥2时，Sn-1=2an-1-2，②
①-②，得an=2an-1，
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴an=a12n-1=2n.
(2)证明由(1)知a2n-1=22n-1，
∴bn=log2a2n-1=2n-1，bn+1=2n+1.
则cn=1bnbn+1
故Tn=1
=121?12n
∵014n+2≤16，∴13≤
思维升华裂项相消法的原则及规律
(1)裂项原则
一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.
(2)消项规律
消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项.
跟踪训练1(2025·厦门模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=2a1=4，当n∈N*，且n≥2时，Sn+1=3Sn-2Sn-1.
(1)证明：数列{an}为等比数列；
(2)设bn=an(an?1)(an+1?1)
(1)证明当n≥2时，Sn+1=3Sn-2Sn-1?Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)，
即an+1=2an，
又a2=2a1=4，故an+1=2an对任意n∈N*都成立，且a1=2，
所以数列{an}是首项、公比均为2的等比数列.
(2)解由(1)知an=2n，
则bn=2n(2n?1)(
所以Tn=1-13+13-17+…+12n?1?1-1
题型二错位相减法求和
例2(2024·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn=3an+4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=(-1)n-1nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
解(1)当n=1时，
4S1=4a1=3a1+4，解得a1=4.
当n≥2时，4Sn-1=3an-1+4，
所以4Sn-4Sn-1=4an=3an-3an-1，
即an=-3an-1，
而a1=4≠0，故an≠0，
故anan?1=-3(
所以数列{an}是以4为首项，-3为公比的等比数列，
所以an=4·(-3)n-1.
(2)bn=(-1)n-1·n·4·(-3)n-1=4n·3n-1，
所以Tn=b1+b2+b3+…+bn
=4·30+8·31+12·32+…+4n·3n-1，
故3Tn=4·31+8·32+12·33+…+4n·3n，
所以-2Tn=4·30+4·31+4·32+…+4·3n-1-4n·3n
=4·1?3n1?3-4
=2(3n-1)-4n·3n