§2.11函数的零点与方程的解
课标要求1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解.
1.函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.?
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)有?函数y＝f(x)的图象与有公共点.?
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数y＝f(x)在区间内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个c也就是方程f(x)＝0的解.?
2.二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间，使所得区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.?
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()
(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)0.()
(3)连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)上没有零点.()
(4)求函数零点的近似值都可以用二分法.()
2.下列函数图象与x轴均有交点，则不能用二分法求图中函数零点近似值的是()
3.函数f(x)＝lnx－1x的零点所在的大致区间是(
A.1e，1 B.(1
C.(2，e) D.(2，3)
4.设f(x)＝|x2－2x|，则函数y＝f(x)－2024的所有零点之和为.?
1.谨记三个相关性质
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实数解.
(2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.
2.谨防两个易错易混
(1)若连续函数f(x)在区间[a，b]上满足f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)上至少有一个零点，反之不一定.
(2)已知二次函数的零点求参数时，不要忽略对二次项系数的讨论.
题型一函数零点所在区间的判定
例1(1)(2025·南昌统考)已知函数f(x)＝lnx＋x－2x，则f(x)的零点所在的区间为(
A.12，1 B.(1
C.(2，e) D.(e，3)
(2)在用二分法求方程x2＝3的正实数根的近似值(精确度为0.001)时，若我们选取的初始区间是[1.7，1.8]，为达到精确度要求至少需要计算的次数是.?
思维升华确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
跟踪训练1(1)函数f(x)＝x12－2－x－1的零点所在的区间是(
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
(2)用二分法求函数f(x)＝ex－x－2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据：f(1)≈－0.28，f(1.5)≈0.98，f(1.25)≈0.24，f(1.125)≈－0.04，关于下一步的说法正确的是()
A.已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值
B.已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值
C.没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.1875)
D.没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.0625)
题型二函数零点个数的判定
例2(1)函数f(x)＝x2-1,x≤
A.5 B.4
C.3 D.2
(2)(2025·绵阳模拟)若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝1－x2，已知函数g(x)＝lgx,x0,ex,x≤0,则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间
A.14 B.13
C.12 D.11
思维升华求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点.
(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
跟踪训练2(1)(2025·渭南模拟)函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为()
A