§6.4数列中的构造问题
重点解读数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式.
题型一待定系数法
命题点1an+1＝pan+q(p≠0，1；q≠0)
例1已知数列{an}中，a1＝5且an+1＝4an+6，则an＝.
命题点2an+1＝pan+qn+c(p≠0，1；q≠0)
例2已知数列{an}满足a1＝2，an+1＝2an－n+1，Sn为数列{an}的前n项和，则S8＝.
命题点3an+1＝pan+qn(p≠0，1；q≠0，1)
例3(2024·衡阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an+1－2n+1，a1＝2，则an＝.
思维升华
形式
构造方法
an+1＝pan+q
引入参数c，构造新的等比数列{an－c}
an+1＝pan+qn+c
引入参数x，y，构造新的等比数列{an+xn+y}
an+1＝pan+qn
两边同除以qn+1，构造新的数列a
跟踪训练1(多选)已知数列{an}，下列结论正确的有()
A.若a1＝2，2(n+1)an－nan+1＝0，则an＝n·2n
B.在数列{an}中，a1＝1，且an＝2an－1+3(n≥2，且n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝2n+1－3
C.若a1＝2，an＝13an－1+13n(n≥2)
D.已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+n－1，则数列{an}的通项公式为an＝2n－n+1
题型二取倒数法和取对数法
命题点1取倒数法
例4已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝anan+3(n∈N*)，则a
命题点2取对数法
例5(2025·岳阳模拟)已知数列{an}满足a1＝10，an+1＝10an2，则an＝
思维升华(1)形如an+1＝tansan+r的递推公式，两边同时取倒数转化为1an+1＝rt·1an+st
(2)形如an+1＝panq的递推公式，两边同取以p为底的对数，得logpan+1＝qlogpan+1，将logpan看成整体，运用待定系数法求得logpan的表达式，再得出a
跟踪训练2(1)在数列{bn}中，b1＝－1，bn+1＝bn3bn+2，则数列{bn}的通项公式
(2)设数列{an}满足a1＝10，an0，且an＝an-12(n≥2)，则an
答案精析
例17×4n－1－2
解析因为an+1＝4an+6，
所以an+1+2＝4an+8＝4(an+2)，
又因为a1+2＝5+2＝7≠0，
所以an+1+2
所以数列{an+2}是以7为首项，
4为公比的等比数列，所以an+2＝7×4n－1?an＝7×4n－1－2.
例2291
解析设an+1+λ(n+1)+u
＝2(an+λn+u)，
所以an+1＝2an+λn+u－λ，
又an+1＝2an－n+1，
所以λ＝-1
所以an+1－(n+1)＝2(an－n)，
又a1－1＝1，因此数列{an－n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
故an－n＝2n－1，因此an＝n+2n－1，
所以S8＝(1+2+…+8)+(20+21+…+27)＝8
+20×(1-
例3(n+1)2n－1
解析因为Sn＝an+1－2n+1，
Sn－1＝an－2n(n≥2)，
两式相减得Sn－Sn－1
＝(an+1－2n+1)－(an－2n)，
即an+1＝2an+2n.
两边同除以2n+1可得an+12n+1－
又S1＝a2－22＝2，得a2＝6，
满足a2
所以数列an2n是首项为a
公差为12
故an2n＝
即an＝(n+1)2n－1.
跟踪训练1AB[∵2(n+1)an－nan+1＝0，∴an
∴ann是首项为a1
公比为2的等比数列，
∴ann＝2·2n－1，∴an＝n·2n，故
由an＝2an－1+3(n≥2)，得an+3＝2(an－1+3)，
即an+3a
又a1+3＝1+3＝4，
∴数列{an+3}是首项为4，公比为2的等比数列，
∴an+3＝4×2n－1，即an＝2n+1－3，
∴数列{an}的通项公式为an＝2n+1－3，故B正确；
根据题意，an＝13an－1+
?an13n－an
又a113＝6，∴a
公差为1的等差数列，故C错误；
设an+1+k(n+1)+b
＝2(an+kn+b)，
∴an+1＝2an+kn+b－k，
由an+1＝2an+n－1，
得k＝1
∴an+1+
即{an+n}是首项为a1+1＝2，公比为2的等比数列.
∴an+n＝2×2n－1＝2n，
故an＝2n－n，故D错误.]
例42
解析因为an+1＝anan+3(n∈
所以1an
设1an+1+t＝
所以3t－t＝1，解得t＝12
所以1an+1+12
又1