§3.2导数与函数的单调性(一)
课标要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
1.函数的单调性与导数的关系
条件
恒有
结论
函数y=f(x)在区间
(a，b)上可导
f(x)0
f(x)在区间(a，b)上单调递增
f(x)0
f(x)在区间(a，b)上单调递减
f(x)=0
f(x)在区间(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数f(x)的定义域；
第2步，求出导数f(x)的零点；
第3步，用f(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)=0，则f(x)在此区间内没有单调性.(√)
(2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f(x)0.(×)
(3)在(a，b)内f(x)≤0且f(x)=0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.(√)
(4)函数f(x)=x-sinx在R上是增函数.(√)
2.函数y=f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则下列判断中正确的是()
A.f(x)在(-3，1)上单调递增
B.f(x)在(1，3)上单调递减
C.f(x)在(2，4)上单调递减
D.f(x)在(3，+∞)上单调递增
答案C
解析当x∈(-3，0)时，f(x)0，故f(x)在(-3，0)上单调递减；
当x∈(0，2)时，f(x)0，故f(x)在(0，2)上单调递增；
当x∈(2，4)时，f(x)0，故f(x)在(2，4)上单调递减；
当x∈(4，+∞)时，f(x)0，故f(x)在(4，+∞)上单调递增，
显然C正确，其他选项错误.
3.函数f(x)=xlnx的单调递减区间为()
A.0，1e B
C.(1，+∞) D.(0，1)
答案A
解析函数f(x)的定义域是(0，+∞)，由已知f(x)=lnx+1，由f(x)=lnx+10得0x1e，∴单调递减区间为0，
4.(2025·南通模拟)已知函数f(x)=x2-ax+lnx(a∈R)的单调递减区间为12，1，则a=
答案3
解析由题意可得，f(x)=2x-a+1x=2x2?ax+1x
谨防四个易误点
(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间时，要坚持“定义域优先”原则.
(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式.
(3)函数f(x)在区间(a，b)内单调递增(或递减)，可得f(x)≥0(或f(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f(x)0(或f(x)0)恒成立，“=”不能少.必要时还需对“=”进行检验.
(4)若函数f(x)在(a，b)内存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f(x)0有解；若函数f(x)在(a，b)内存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f(x)0有解.
题型一函数的单调性与导函数图象之间的关系
例1(1)(2025·盐城模拟)已知函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图，则其导函数f(x)的图象可能为()
答案A
解析观察图象知，当x0时，f(x)单调递减，f(x)0，选项B，D不满足；当x0时，函数f(x)先单调递增，再单调递减，然后又单调递增，则f(x)的值先正，再负，然后又为正，有两个不同的零点，A满足，C不满足.
(2)(2024·南京模拟)若定义在R上的函数y=x3f(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的单调递增区间为()
A.[0，1]
B.[0，2]
C.(-∞，0]
D.(-∞，2]
答案B
解析由题图可得，
当0≤x≤2时，由y=x3f(x)≥0得f(x)≥0，y=f(x)在[0，2]上单调递增；
当x2时，由y=x3f(x)0得f(x)0，y=f(x)在(2，+∞)上单调递减；
当x0时，由y=x3f(x)0得f(x)0，y=f(x)在(-∞，0)上单调递减，
综上，函数y=f(x)的单调递增区间为[0，2].
思维升华(1)由原函数图象识别导函数图象的依据
若f(x)单调递增，则f(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)单调递减，则f(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f(x)=0.
(2)由导函数图象识别原函数图象的依据
若f(x)0，则f(x)单调递增，若f(x)0，则f(x)单调递减.
跟踪训练1(2025·常州模拟)函数f(x)的图象如图所示，设f(x)的导函数为f(x)，则f(x)f(
A.1