§3.5导数与函数的最值
课标要求1.理解函数最值与极值的关系.2.掌握利用导数研究函数最值的方法.3.会用导数研究生活中的最优化问题.
1.函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
2.求y=f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤
(1)求函数y=f(x)在区间(a，b)内的极值.
(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)连续函数f(x)在区间[a，b]上一定存在最值.(√)
(2)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值.(×)
(3)函数的极大值不一定是最大值，但一定不是最小值.(√)
(4)有极值的函数一定有最值，但有最值的函数不一定有极值.(×)
2.函数f(x)=x3-3x+1在区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是()
A.1，-1 B.1，-17
C.3，-17 D.9，19
答案C
解析f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，
令f(x)0，得x1或x-1，令f(x)0，得-1x1，
故f(x)在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值，
且f(-1)=-1+3+1=3，f(-3)=-27+9+1=-17，f(0)=1，
所以函数f(x)=x3-3x+1在区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是3，-17.
3.函数y=lnxx的最大值为(
A.e-1 B.e C.e2 D.10
答案A
解析由题意得函数定义域为(0，+∞)，
令y=1?lnxx2=0?
当xe时，y0；当0xe时，y0，
所以函数在x=e处取得极大值为e-1，
因为在定义域内只有一个极值，所以ymax=e-1.
4.函数f(x)=x3-x2-x+a在区间[0，2]上的最大值是3，则a的值为.?
答案1
解析由题意可知，f(x)=3x2-2x-1，
令f(x)=0，解得x=1或x=-13(舍去)
当0≤x1时，f(x)0；当1x≤2时，f(x)0，
所以函数f(x)在[0，1]上单调递减，在(1，2]上单调递增.
又f(0)=a，f(1)=a-1，f(2)=a+2，
则f(2)最大，
所以当x=2时，函数f(x)在区间[0，2]上的最大值为f(2)=a+2=3，解得a=1.
解题时灵活应用以下几个关键点
(1)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.
(2)对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、端点.
题型一利用导数求函数的最值
例1已知函数f(x)=(x-1)ex-12ax2
(1)若a=e，求f(x)在[0，2]上的最值；
(2)若a0，求函数f(x)在[1，2]上的最小值.
解函数f(x)=(x-1)ex-12ax2
求导得f(x)=xex-ax=x(ex-a).
(1)∵a=e，∴f(x)=(x-1)ex-12ex2，f(x)=x(ex-e
当x∈[0，2]时，令f(x)=0，得x=1(舍去x=0)，
∵f(1)=-12e
f(0)=-1，f(2)=e2-2e，
∴f(x)min=f(1)=-12e
f(x)max=f(2)=e2-2e.
(2)若a0，则
①当lna≥2，即a≥e2时，ex-a≤0，f(x)≤0，函数f(x)在[1，2]上单调递减，
因此函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(2)=e2-2a；
②当1lna2，即eae2时，函数f(x)在[1，lna)上单调递减，在(lna，2]上单调递增，
因此函数f(x)的最小值为f(lna)=a(lna-1)-12a(lna)2
③当lna≤1，即0a≤e时，ex-a≥0，f(x)≥0，函数f(x)在[1，2]上单调递增，
因此函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(1)=-12
综上，当a≥e2时，f(x)在[1，2]上的最小值为e2-2a；
当eae2时，f(x)在[1，2]上的最小值为a(lna-1)-12a(lna)2
当0a≤e时，f(x)在[1，2]上的最小值为-12
思维升华求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.
跟踪训练1已知函数f(x)=x?ax-lnx(a∈R)，求f(x)在(0，
解函数f(x)=x?ax-lnx(a∈R)的定义域为(0，
则f(x)=ax2-1x
当a≤0时，对任意的x0，f(x)0恒成立，此时函数