必刷大题6导数的综合问题
(分值：60分)
1.(13分)(2025·广东联考)已知函数f(x)=ex(x2-ax-a)，a∈R.
(1)当a-2时，讨论f(x)的单调性；(6分)
(2)若a≥0，当x=x1时，函数f(x)有极大值m；当x=x2时，f(x)有极小值n，求m-n的取值范围.(7分)
解(1)易知函数f(x)的定义域为R，
则f(x)=ex(x+2)(x-a)，
又因为a-2，所以当x∈(-2，a)时，f(x)0；
当x∈(-∞，-2)∪(a，+∞)时，f(x)0，
因此可得f(x)在(-2，a)上单调递减，在(-∞，-2)，(a，+∞)上单调递增.
(2)若a≥0，由(1)可知f(x)在x=-2处取得极大值，在x=a处取得极小值，
所以m=f(-2)=e-2(4+a)，n=f(a)=-aea，即m-n=e-2(4+a)+aea.
设函数g(a)=aea+e-2(4+a)，a≥0，则g(a)=(a+1)ea+e-20，
所以g(a)在[0，+∞)上单调递增，所以g(a)≥g(0)=4e-2，
即m-n的取值范围为[4e-2，+∞).
2.(15分)(2024·重庆模拟)已知函数f(x)=a(x+a)-lnx(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性；(6分)
(2)证明：当a0时，f(x)≥3lna+2.(9分)
(1)解依题意x0，
f(x)=a-1x，当a≤0时，f(x)0
当a0时，由f(x)0得x1a
由f(x)0得0x1a
即当a≤0时，函数f(x)是减函数；
当a0时，函数f(x)在0，1a上单调递减，在1
(2)证明由(1)知当a0时，f(x)的最小值为f1a=1+a2+lna
1+a2+lna-(3lna+2)=a2-2lna-1，
设g(x)=x2-2lnx-1(x0)，
则g(x)=2x-2x=2(
当0x1时，g(x)0，当x1时，g(x)0，
∴函数g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
即g(x)的最小值为g(1)=12-2ln1-1=0，
即g(x)≥g(1)=0，∴g(a)≥0，
即f(x)的最小值f1a=1+a2+lna≥3lna+2
∴f(x)≥3lna+2.
3.(15分)已知函数f(x)=ax+(a-1)lnx+1x-2，a∈R
(1)讨论f(x)的单调性；(7分)
(2)若f(x)只有一个零点，求a的取值范围.(8分)
解(1)函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f(x)=a+a?1x-1x
若a≤0，则f(x)0，f(x)在(0，+∞)上单调递减；
若a0，则当x∈0，1a时，f(x)0，f(x)单调递减，当x∈1a，+∞时，f(x)0，
综上，当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递减；当a0时，f(x)在0，1a上单调递减，在1
(2)若a≤0，f1e=ae+1-a+e-2=1e?1a+e-10，f(1)
结合函数的单调性可知，f(x)有唯一零点.
若a0，因为函数f(x)在0，1a上单调递减，在1a，+∞上单调递增，所以要使得函数f(x)有唯一零点，只需f(x)min=f1a=1-(a-1)lna+a-2=(a-1)(1-lna)=0，解得
综上，a≤0或a=1或a=e.
4.(17分)已知函数f(x)=x-aln(1+x)，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；(8分)
(2)证明：对于任意正整数n，都有1+13+15+…+12n?112ln(2
(1)解易知f(x)的定义域为(-1，+∞)，
由f(x)=x-aln(1+x)，
得f(x)=1-a1+x=
当a≤0时，f(x)0在(-1，+∞)上恒成立，
所以f(x)在(-1，+∞)上为增函数；
当a0时，令f(x)=0，得x=a-1，
当x∈(-1，a-1)时，f(x)0，当x∈(a-1，+∞)时，f(x)0，
即f(x)在(-1，a-1)上单调递减，在(a-1，+∞)上单调递增，
综上所述，当a≤0时，f(x)在(-1，+∞)上为增函数，当a0时，f(x)在(-1，a-1)上单调递减，在(a-1，+∞)上单调递增.
(2)证明当a=1时，f(x)=x-ln(1+x)，
由(1)知，f(x)在(-1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，
所以f(x)=x-ln(1+x)≥f(0)=0，得到x≥ln(x+1)，当且仅当x=0时，等号成立，
对于任意正整数n，令x=22
则22n?1ln22n?1+1=ln(2n+1
所以21+13+15+…+12n?1ln3-ln1+ln5-ln3+ln7-ln5+…+ln(2n+1)
即1+13+15+…+12n?112
本题得证.