§10.3二项式定理
课标要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1.二项式定理
二项式定理
(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnkan-kbk+…+Cnn
二项展开式的通项
Tk+1=Cnkan-kbk，它表示展开式的第k
二项式系数
Cnk(k=0，1，…，
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
(2)增减性与最大值：
①当kn+12时，Cnk随k的增加而增大；由对称性知，当kn+12时，
②当n是偶数时，中间的一项Cnn2取得最大值；当n是奇数时，中间的两项C
(3)各二项式系数的和：(a+b)n的展开式的各二项式系数的和为Cn0+Cn1+Cn2+…
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Cnkan-kbk是(a+b)n的展开式中的第k项.(×
(2)(a+b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关.(√)
(3)二项展开式中系数的最大项就是二项式系数的最大项.(×)
(4)二项展开式项的系数是先增后减的.(×)
2.(2024·浙江省G5联盟联考)在x2
A.240 B.-240 C.160x3 D.-160x3
答案D
解析由题意知，x2?2x6展开式的通项为Tk+1=C6k(x2
令k=3，得T4=(-2)3C63x12-3×3=-160x3，即第4项为-160x
3.若x+3x
A.9 B.10 C.11 D.12
答案D
解析由x+3x2n的展开式中只有第7
4.在二项式x?2x2
答案-1
解析因为二项式系数的和为2n=32，所以n=5.
令x=1，可得各项系数的和为(1-2)5=-1.
1.二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k+1项.
2.牢记一个注意点：(a+b)n与(b+a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒.
3.理清二项式系数与项的系数的区别.
题型一通项公式的应用
命题点1形如(a+b)n(n∈N*)的展开式的特定项
例1(多选)已知x2?1
A.n=10
B.展开式中的常数项为45
C.含x5的项的系数为210
D.展开式中的有理项有5项
答案ABC
解析二项展开式的通项为
Tk+1=Cnkx2n-2k(-1)
=(-1)kCn
由于第3项与第5项的系数之比为3∶14，
则Cn2C
故n(n?1)
得n2-5n-50=0，解得n=10(负值舍去)，故A正确；
则Tk+1=(-1)kC10
令20-5k2=0，解得k
则展开式中的常数项为(-1)8C108=45，故
令20-5k2=5，解得k
则含x5的项的系数为(-1)6C106=210，故
令20-5k2∈Z，则
此时k=0，2，4，6，8，10，故有6项为有理项，故D错误.
命题点2形如(a+b)m(c+d)n(m，n∈N*)的展开式问题
例2在(x4+2)x?1x6
答案-46
解析二项式x?1x6展开式的通项公式为Tk+1=C6kx6-k?1xk=(-1)kC6kx6-2k，k∈N，k≤6，由6-2k=0
所以展开式的常数项为2×(-1)3C63+(-1)5
破解三项展开式问题
求三项展开式中某些指定的项，常常利用这几种方法：
(1)两项看成一项，利用二项式定理展开.
(2)因式分解，转化为两个二项式再求解.
(3)看作多个因式的乘积，用组合的知识解答.
典例(1)(3x2+2x+1)
答案210
解析因为(3x2+2x+1)10=[3x2+(2x+1)]10=C100(3x2)10+C101(3x2)9(
…+C109(3x2)1(2x+1)9+C1010(2x
所以含有x2的项为C1093x2·C9919+C1010C108(2
所以(3x2+2x+1)
(2)(1+2x?3x2)5
答案92
解析将(1+2x?3x2)5看作5个因式1+2x-3x2
①5个因式各出一个2x，这样的方式有C55种，对应的项为C55(2
②有3个因式各出一个2x，有1个因式出一个-3x2，剩余1个因式出一个1，这样的方式有C53C21种，对应的项为C53(2x)
③有1个因式出一个2x，2个因式各出一个-3x2，剩余2个因式各出一个1，这样的方式有C51C42种，对应的项为C51×2x×C4
所以含x5的项的系数为C55×25+C53×23×C21×(-3)+C51×2×
思维升华(1)求二项展开式中的问题，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项即可.
(2)对于几个多