2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册）
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第19讲随机事件与概率
学习目标：
1．结合实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系；
2．理解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并交运算；
3．结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率；
4．通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则，会用互斥事件、对立事件的概率求解实际问题
重点难点：
重点：古典概型的概率判断、事件的关系和运算、概率的基本性质
难点：事件的关系和运算、概率的基本性质
一、有限样本空间与随机事件
1.随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母表示.
随机试验具有以下特点:
（1）试验可以在相同条件下重复进行;
（2）试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.
2.试验的样本点和样本空间
项目
定义
字母表示
样本点
我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点
用表示样本点
样本空间
全体样本点的集合称为试验的样本空间
用表示样本空间
有限样本空间
如果一个随机试验有个可能结果
则称样本空间为有限样本空间
3.三种事件的定义
随机事件
我们将样本空间的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母表示.在每次试验中,当且仅当中某个样本点出现时,称为事件发生
必然事件
作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以总会发生,我们称为必然事件
不可能事件
空集不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称为不可能事件
二、事件的关系和运算
1.事件的包含关系
定义
一般地,若事件发生,则事件一定发生,我们就称事件包含事件(或事件包含于事件)
含义
发生导致发生
符号表示
(或)
图形表示
特殊情况
如果事件包含事件,事件也包含事件,即且,则称事件与事件相等,记作
2.并事件(或和事件)
定义
一般地,事件与事件至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件中,或者在事件中,我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)
含义
与至少有一个发生
符号表示
(或)
图形表示
3.交事件(或积事件)
定义
一般地,事件与事件同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件中,也在事件中,我们称这样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)
含义
与同时发生
符号表示
(或)
图形表示
4.互斥事件(或互不相容事件)
定义
一般地,如果事件与事件不能同时发生,也就是说是一个不可能事件,即,则称事件与事件互斥(或互不相容)
含义
与不能同时发生
符号表示
图形表示
5.对立事件
定义
一般地,如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么称事件与事件互为对立.事件的对立事件记为
含义
与有且仅有一个发生
符号表示
,
图形表示
三、古典概型
1.概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值),称为事件的概率,事件的概率用表示.
2.古典概型
一般地,如果随机试验的样本空间的样本点只有有限个(简称为有限性),而且可以认为每个样本点发生的可能性相等(简称等可能性),则称这样的随机试验为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
3.古典概型概率公式
一般地,设试验是古典概型,样本空间包含个样本点,事件包含其中的个样本点,则定义事件的概率，其中,和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数.
四、概率的基本性质
一般地,概率具有如下性质:
性质1:对任意的事件,都有.
性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即.
性质3:如果事件与事件互斥,那么.
如果事件两两互斥,那么事件发生的概率等于这个事件分别发生的概率之和,即
性质4:如果事件和事件互为对立事件,那么
性质5:如果,那么.
性质6:设是一个随机试验中的两个事件,我们有.
考点01事件的类型
1．下列现象是必然现象的是（????）
A．某路口每星期发生交通事故1次
B．冰水混合物的温度是
C．三角形的内角和为
D．一个射击运动员每次射击都命中7环
【答案】C
【详解】对于选项A：某路口每星期发生交通事故1次，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故A错误；
对于选项B：理想状态下冰水混合物的温度应是，这个事件为不可能现象，故B错误；
对于选项C：三角形的内角和为，这个事件为必然现象，故C正确；
对于选项D：一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故D错误；
故选：C.
2．下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画