训练35随机变量及其分布[分值：65分]
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.设ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
1
1
1
1
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于()
A.76 B.176 C.173
答案D
解析E(ξ)＝1×16＋2×16＋3×13＋4
E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×176＋5＝32
2.设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X4)＝0.3，那么()
A.n＝3 B.n＝4 C.n＝10 D.n＝9
答案C
解析由题意知P(X4)＝3P(X＝1)＝0.3，
∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10.
3.(2024·遂宁等八市联考)“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同.比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为()
A.12 B.1 C.32 D
答案B
解析记抽到自己准备的书的学生数为X，则X可能取值为0，1，2，4，
P(X＝0)＝C3
P(X＝1)＝C4
P(X＝2)＝C42×1A44＝624
则E(X)＝0×38＋1×13＋2×14＋4×1
4.(2024·济源质检)如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间.小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落，当有大量的小球都滚下时，最终在钉板下面不同位置收集到小球.若一个小球从正上方落下，落到3号位置的概率是()
A.116 B.14 C.38
答案C
解析记Pn(m)为小球经过第n层m号通道，
当小球经过第2层时，第一次碰到钉子，向左或向右滚下的概率均为12
所以P2(1)＝P2(2)＝12
当小球经过第4层时，共碰到3次钉子，要使得小球经过第2号通道，必须满足1次向右、2次向左滚下，所以P4(2)＝C31·
同理可得P4(3)＝38
要使得小球经过3号位置(即第5层3号通道)，可由第4层2号通道向右滚下，也可以由第4层3号通道向左滚下，
因此，P5(3)＝12P4(2)＋12P4(3)＝
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝ak＋1(k＝1，2，5)，a∈R，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论错误的是
A.P(0X3.5)＝2
B.E(3X＋2)＝7
C.D(X)＝2
D.D(3X＋1)＝6
答案ABD
解析因为随机变量X的分布列为P(X＝k)＝ak＋1(k＝1，2，
由分布列的性质可知，P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝5)＝a2＋a3＋a6
P(0X3.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝12＋1
因为E(X)＝1×12＋2×13＋5×16
所以E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×2＋2＝8，故B不正确；
由D(X)＝12×(1－2)2＋13×(2－2)2＋16×(5－2)2＝2
因为D(X)＝2，
所以D(3X＋1)＝9D(X)＝18，故D不正确.
6.(2024·唐山模拟)下列说法正确的是()
A.某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为12，则游戏者闯关成功的概率为
B.从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为C
C.已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝ai(i＋1)(i＝1，2，3)，则P(X
D.若随机变量η~N(2，σ2)，且δ＝3η＋1，则P(η2)＝0.5，E(δ)＝6
答案AC
解析选项A，5次都没投中的概率为125＝132.所以游戏者闯关成功的概率为1－
选项B，从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的情况有：
1名女生3名男生、2名女生2名男生、3名女生1名男生和4名都是女生四种.
共有C51C103＋C52C102
所以其中至少有一名女生的概率为C51C103＋
选项C，由P(X＝i)＝ai(i＋1)(i＝1，
则a12＋16＋112
所以P(X＝2)＝43×12×3
选项D，由随机变量η~N(2，σ2)，
则P(η2)＝0.5，E(η)＝2，
所以E(δ)＝E(3η＋1)＝3E(η)＋1＝7，
故D不正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2024·苏州模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，且P(ξ