§10.6离散型随机变量及其分布列、数字特征
课标要求1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.
1.离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
3.离散型随机变量分布列的性质
(1)pi≥0，i=1，2，…，n；
(2)p1+p2+…+pn=1.
4.离散型随机变量的均值(数学期望)与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
(1)均值(数学期望)
称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=nΣi=1xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.它反映了随机变量取值的
(2)方差
称D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=nΣi=1(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差，并称D(X)为随机变量X的标准差，记为σ
5.均值(数学期望)与方差的性质
(1)E(aX+b)=aE(X)+b.
(2)D(aX+b)=a2D(X)(a，b为常数).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(×)
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(√)
(3)随机试验的结果与随机变量是对应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.(√)
(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小.(√)
2.甲、乙两人下象棋，共下三局，每局赢了得3分，平得1分，输了得0分，用ξ表示甲的得分，则{ξ=3}表示()
A.甲赢三局
B.甲赢一局输两局
C.甲、乙平局二次
D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
答案D
解析因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平得1分，输了得0分，故{ξ=3}表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.
3.已知随机变量X的分布列如表，则E(5X+4)等于()
X
1
2
4
P
0.4
a
0.3
A.1 B.2.2 C.11 D.15
答案D
解析依题意，0.4+a+0.3=1，解得a=0.3，
则E(X)=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2，
所以E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.2+4=15.
4.甲、乙两人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，分布列分别为
X
0
1
2
3
P
0.4
0.3
0.2
0.1
Y
0
1
2
P
0.3
0.5
0.2
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是.?
答案乙
解析E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1，E(Y)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9，
∵E(Y)E(X)，∴乙技术较好.
1.(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.
(3)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求分布列是否正确.
2.(1)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).
(2)D(X)=E(X2)-(E(X))2.
(3)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)=E(X1)·E(X2).
题型一分布列的性质
例1(1)若随机变量X的分布列为
X
-2
-1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(Xa)=0.8时，实数a的取值范围是()
A.[1，2) B.[1，2]
C.(1，2] D.(1，2)
答案C
解析由随机变量X的分布列知，P(X1)=0.5，P(X2)=0.8，故当P(Xa)=0.8时，实数a的取值范围是(1，2].
(2)设随机变量X的分布列为P(X=k)=m4k2?1(k=1，2，3，4，5)，则P
A.235 B.325 C.2225
答案A
解析P(X=k)=m4k2?1=
∵5Σk=1P(X=k)=1，∴m
=m2×1?111=5m11=1.
∴P(X≥4)=1110×17?
思维升华离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.
(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.
(3)可以根据性质判