§10.7二项分布、超几何分布与正态分布
课标要求1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用.
1.二项分布
(1)伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k，k=0，1，2，…，
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p).
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，则E(X)=p，D(X)=p(1-p).
②若X~B(n，p)，则E(X)=np，D(X)=np(1-p).
2.超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=CMkCN?Mn?kCNn，k=m，m+1，m+2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0，n-N+
3.正态分布
(1)定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=1σ2πe?(x?μ)22σ2，x∈R，其中μ∈R
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；
②曲线在x=μ处达到峰值1σ
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.
(3)3σ原则
①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827；
②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545；
③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
(4)正态分布的均值与方差
若X~N(μ，σ2)，则E(X)=μ，D(X)=σ2.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两点分布是二项分布当n=1时的特殊情形.(√)
(2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布.(√)
(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布.(×)
(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”.(×)
2.若随机变量ξ~N(3，σ2)，且P(ξ≥4)=0.2，则P(2ξ3)等于()
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
答案B
解析由随机变量ξ~N(3，σ2)，根据正态分布性质可知，P(ξ3)=0.5，因为P(ξ≥4)=0.2，可得P(3ξ4)=P(ξ3)-P(ξ≥4)=0.5-0.2=0.3，再根据正态曲线的对称性可知，P(2ξ3)=P(3ξ4)=0.3.
3.有20个零件，其中16个一等品，其余都是二等品，若从20个零件中任取3个，那么至多有一个是二等品的概率是()
A.C161C
C.C162
答案C
解析至多有一个是二等品即只有一个二等品或者没有二等品，故概率为C16
4.甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制(先胜3局者胜，比赛结束).已知每局比赛甲获胜的概率均为12(不考虑平局)，则甲以3比1获胜的概率为.
答案3
解析若甲以3比1获胜，则甲、乙两人共比赛4局，其中前3局中甲胜2局，第4局甲必胜，故所求概率为P=C32122×1?
1.若X~N(μ，σ2)，则X的均值与方差分别为E(X)=μ，D(X)=σ2.
2.“恰好发生k次”与“有指定的k次发生”不同：恰好发生k次的概率P=Cnkpk(1-p)n-k，有指定的k次发生的概率P=pk(1-p)n-k(k=0，1，2，…，
3.“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.
4.超几何分布有时也记为X~H(n，M，N)，其均值E(X)=nMN，方差D(X)=nM
题型一二项分布
例1(2024·大庆模拟)2024年7月12日，国家疾控局会同教育部、国家卫生健康委和体育总局制定并发布了《中小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》，其中一级预防干预技术的生活方式管理中就提到了“少喝或不喝含糖饮料，足量饮水”，某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的体重和饮食习惯等信息，其中学生饮用含糖饮料的统计结果如下：学校有14的学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为13；而每天饮用含糖饮料低于500毫升的学生的肥胖率为
(1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率；
(2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记X表示这三名学生中肥胖的人数，求X的分布列和数学期望.
解